Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức cơ bản về vận tốc, quãng đường và thời gian.

1. **Giả thiết**:
- Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \( v_1 \) km/h.
- Gọi vận tốc của xe thứ hai là \( v_2 \) km/h.

2. **Trường hợp 1** (gặp nhau sau 10 giờ):
- Tổng quãng đường mà hai xe đi trong 10 giờ là 750 km, nên ta có:
\[
v_1 \cdot 10 + v_2 \cdot 10 = 750
\]
Từ đó ta rút ra:
\[
v_1 + v_2 = 75 \quad (1)
\]

3. **Trường hợp 2** (xe thứ nhất khởi hành trước 3 giờ 45 phút):
- Xe thứ nhất đi trước 3 giờ 45 phút tức là 3.75 giờ. Sau khi xe thứ hai khởi hành, xe thứ nhất đã đi:
\[
d_1 = v_1 \cdot 3.75
\]
- Sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ, tổng thời gian mà xe thứ nhất chạy là \( 8 + 3.75 = 11.75 \) giờ. Quãng đường mà xe thứ nhất đi là:
\[
d_1' = v_1 \cdot 11.75
\]
Quãng đường mà xe thứ hai đi là:
\[
d_2 = v_2 \cdot 8
\]
- Do đó, ta có phương trình:
\[
d_1' + d_2 = 750
\]
Thay thông số vào:
\[
v_1 \cdot 11.75 + v_2 \cdot 8 = 750 \quad (2)
\]

4. **Giải hệ phương trình**:

Từ (1):
\[
v_2 = 75 - v_1
\]
Thay vào (2):
\[
v_1 \cdot 11.75 + (75 - v_1) \cdot 8 = 750
\]
Giải phương trình trên:
\[
11.75v_1 + 600 - 8v_1 = 750
\]
\[
3.75v_1 = 750 - 600
\]
\[
3.75v_1 = 150
\]
\[
v_1 = \frac{150}{3.75} = 40 \text{ km/h}
\]

5. **Tính vận tốc của xe thứ hai**:
Thay giá trị \( v_1 \) vào (1):
\[
v_2 = 75 - 40 = 35 \text{ km/h}
\]

**Kết luận**:
- Vận tốc của xe thứ nhất là \( 40 \text{ km/h} \).
- Vận tốc của xe thứ hai là \( 35 \text{ km/h} \).