Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( \frac{7x - 8}{2x - 3} \), trước hết ta cần xác định miền xác định của biểu thức này, đó là \( 2x - 3 \neq 0 \), tức là \( x \neq \frac{3}{2} \).

Bước tiếp theo là tính đạo hàm của biểu thức và tìm các giá trị của \( x \) làm cho đạo hàm bằng 0.

Biểu thức có thể viết lại dưới dạng \( y = \frac{7x - 8}{2x - 3} \).

Để tính đạo hàm, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của thương:

\[
y' = \frac{(2x - 3)(7) - (7x - 8)(2)}{(2x - 3)^2}
\]

Đơn giản hóa tử số:

\[
= \frac{14x - 21 - (14x - 16)}{(2x - 3)^2}
\]
\[
= \frac{14x - 21 - 14x + 16}{(2x - 3)^2}
\]
\[
= \frac{-5}{(2x - 3)^2}
\]

Đạo hàm \( y' \) luôn âm (trừ khi mẫu bằng 0), cho thấy rằng hàm \( y \) là hàm giảm trên miền xác định. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm sẽ đạt tại điểm đầu của miền xác định.

Kiểm tra giá trị tại điểm đầu tiên trong miền xác định của \( x \) là \( 0 \):

\[
y(0) = \frac{7(0) - 8}{2(0) - 3} = \frac{-8}{-3} = \frac{8}{3}
\]

Khi \( x \to \frac{3}{2}^-\) (tiến tới 1.5 từ phía bên trái):

\[
y\left(\frac{3}{2}\right) \to +\infty.
\]

Khi \( x \to +\infty \):

\[
y \to \frac{7}{2}
\]

Tóm lại, giá trị lớn nhất của biểu thức sẽ không được xác định rõ trong miền số tự nhiên, nhưng hàm sẽ có một giới hạn và giảm dần. Do đó không có giá trị lớn nhất xác định đúng trong miền số tự nhiên, mà nó chỉ có thể tiếp cận giá trị lớn cho các \( x \) gần \( \frac{3}{2} \).

Nếu cần một giá trị cụ thể và điều kiện cụ thể là số tự nhiên, bạn có thể thử các giá trị tự nhiên \( x = 0, 1, 2, 3, \ldots\) và xác định giá trị cụ thể.