Chúng ta sẽ chứng minh từng đẳng thức một.

### Đẳng thức 1: \( \cot x + \tan x = \frac{2}{\sin 2x} \)

**Chứng minh:**

- Ta biết rằng:

\[
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\]

- Do đó, ta có:

\[
\cot x + \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x}
\]

- Đưa về cùng mẫu:

\[
\cot x + \tan x = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x \cos x}
\]

- Theo định lý Pythagore, \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \), ta có:

\[
\cot x + \tan x = \frac{1}{\sin x \cos x}
\]

- Sử dụng công thức \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):

\[
\cot x + \tan x = \frac{2}{\sin 2x}
\]

Vậy đẳng thức 1 đã được chứng minh.

### Đẳng thức 2: \( \cot x - \tan x = 2 \cot 2x \)

**Chứng minh:**

- Theo định nghĩa:

\[
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\]

- Do đó ta có:

\[
\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}
\]

- Đưa về cùng mẫu:

\[
\cot x - \tan x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}
\]

- Sử dụng công thức \( \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \):

\[
\cot x - \tan x = \frac{\cos 2x}{\sin x \cos x}
\]

- Theo Công thức \( \cot 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} \) và \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):

\[
\frac{\cos 2x}{\sin x \cos x} = \frac{2 \cos 2x}{2 \sin x \cos x} = 2 \cot 2x
\]

Vậy đẳng thức 2 đã được chứng minh.

### Đẳng thức 3: \( \cos 4x = 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1 \)

**Chứng minh:**

- Sử dụng công thức:

\[
\cos 4x = 2 \cos^2 2x - 1
\]

- Ta thấy:

\[
\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1
\]

- Từ đó, ta sẽ thay \(\cos 2x\) vào:

\[
\cos^2 2x = (2 \cos^2 x - 1)^2 = 4 \cos^4 x - 4 \cos^2 x + 1
\]

- Vậy:

\[
\cos 4x = 2(4 \cos^4 x - 4 \cos^2 x + 1) - 1
= 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 2 - 1
= 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1
\]

Vậy đẳng thức 3 đã được chứng minh.

Tóm lại, cả ba đẳng thức đã được chứng minh thành công!