Để tìm số dư khi chia một đa thức \( f(x) \) cho một đa thức \( g(x) \), theo định lý chia đa thức, số dư sẽ có dạng \( r(x) = ax + b \), trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số.

Cho \( f(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) \) và \( g(x) = x^2 + 7x + 8 \).

Theo định lý chia, số dư \( r(x) \) thỏa mãn:

\[ f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x) \]

và \( r(x) \) sẽ có bậc thấp hơn bậc của \( g(x) \) (tức là bậc 2), vì vậy:

\[ r(x) = ax + b \]

Chúng ta sẽ tính \( f(-1) \) và \( f(-8) \), vì \( g(x) = 0 \) tại hai điểm này:

1. Tính \( f(-1) \):

\[
f(-1) = (-1 + 1)(-1 + 2)(-1 + 3)(-1 + 4)(-1 + 5) = (0)(1)(2)(3)(4) = 0
\]

2. Tính \( f(-8) \):

\[
f(-8) = (-8 + 1)(-8 + 2)(-8 + 3)(-8 + 4)(-8 + 5) = (-7)(-6)(-5)(-4)(-3)
\]

Tính giá trị:

\[
f(-8) = (-7)(-6)(-5)(-4)(-3) = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3
\]

Tính từng phần:

\[
7 \cdot 6 = 42
\]
\[
42 \cdot 5 = 210
\]
\[
210 \cdot 4 = 840
\]
\[
840 \cdot 3 = 2520
\]

Vậy:

\[
f(-8) = 2520
\]

Bây giờ ta có hai phương trình:

1. \( r(-1) = a(-1) + b = 0 \) (1)
2. \( r(-8) = a(-8) + b = 2520 \) (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2):

Từ (1):

\[
-a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = a
\]

Thay vào (2):

\[
-8a + a = 2520
\]
\[
-7a = 2520 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{2520}{7} = -360
\]

Vậy \( b = a = -360 \).

Cuối cùng, số dư \( r(x) \) khi chia \( f(x) \) cho \( g(x) \) là:

\[
r(x) = -360x - 360
\]

Như vậy, số dư khi chia \( f(x) \) cho \( g(x) \) là:

\[
r(x) = -360x - 360
\]