Để chứng minh các điều cần thiết trong bài toán, ta sẽ tiến hành theo từng phần như sau:

**a) Chứng minh tam giác \(ABD = tam giác ACE\)**

1. **Dễ thấy rằng tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nên:**
\[
AB = AC
\]

2. **Cả hai tam giác \(ABD\) và \(ACE\) đều có chung cạnh \(A\) (cạnh \(A\) là đỉnh chung).**

3. **Tia \(BD\) vuông góc với cạnh \(AC\) và tia \(CE\) vuông góc với cạnh \(AB\):**
\[
BD \perp AC \quad \text{và} \quad CE \perp AB
\]

4. **Do đó, ta có:**
\[
\angle ABD = \angle ACE = 90^\circ
\]

5. **Cuối cùng, ta có:**
\[
\angle ADB = \angle AEC
\]
Vì \(AD\) và \(AE\) là hai đường cao trong tam giác cân \(ABC\).

Vậy ta có các cặp cạnh và góc tương ứng, do đó:
\[
\Delta ABD \cong \Delta ACE
\]

**b) Gọi \(G\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Chứng minh tam giác \(GDE\) cân.**

1. **Khi \(G\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\), ta có:**
\[
GD \perp AC \quad \text{và} \quad GE \perp AB
\]

2. **Chiếu \(G\) lên các cạnh tương ứng, do vậy có:**
\[
\angle GDB = \angle GEC = 90^\circ
\]

3. **Từ đó, trong tam giác \(GDE\):**
\[
GD = GE \quad \text{(cạnh tương ứng của tam giác \(ABD\) và \(ACE\))}
\]

Do đó, tam giác \(GDE\) là tam giác cân tại \(G\).

**c) Chứng minh tứ giác \(BEDC\) là hình thang cân.**

1. **Xét hai góc: \( \angle BGD \) và \( \angle CGE \).**
- Vì \(BD\) và \(CE\) là đường cao nên:
\[
\angle BGD = 90^\circ = \angle CGE
\]

2. **Do đó tứ giác \(BEDC\) có hai cặp góc kề bù bằng nhau:**
\[
\angle BED + \angle CDE = 180^\circ \quad \text{và} \quad \angle ABC + \angle DCE = 180^\circ
\]

3. **Vì vậy, \(BEDC\) là hình thang.**

4. **Ngoài ra, do \(AB = AC\) và các đoạn đường cao từ \(B\) đến \(AC\) và từ \(C\) đến \(AB\) tạo thành \(G\) là giao điểm, cho nên \(BD \parallel CE\).**

Như vậy, tứ giác \(BEDC\) là hình thang cân.

Tóm lại, ta đã chứng minh xong các phần a), b) và c) trong bài toán.