Để chứng minh tam giác \( ABC \) là tam giác cân khi hai đường trung tuyến \( BD \) và \( CE \) bằng nhau, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và các đoạn thẳng liên quan.

1. **Các điểm trung điểm**: Gọi \( D \) là trung điểm của cạnh \( AC \) và \( E \) là trung điểm của cạnh \( AB \). Như vậy, \( AD = DC \) và \( AE = EB \).
2. **Đường trung tuyến**: Theo định nghĩa, đường trung tuyến \( BD \) chia tam giác \( ABC \) thành hai tam giác \( ABD \) và \( BDC \) có cùng diện tích. Tương tự, đường trung tuyến \( CE \) chia tam giác \( ABC \) thành hai tam giác \( ABE \) và \( CBE \) cũng có cùng diện tích.
3. **Xét diện tích các tam giác**:
- Diện tích tam giác \( ABD \) bằng diện tích tam giác \( BDC \).
- Diện tích tam giác \( ABE \) bằng diện tích tam giác \( CBE \).

Vì \( BD \) và \( CE \) bằng nhau, nên \( BD = CE \). Ta có thể xem xét diện tích của từng tam giác:

\[
\text{Diện tích} \triangle ABD = \frac{1}{2} \times AB \times h_1
\]
\[
\text{Diện tích} \triangle ABE = \frac{1}{2} \times AB \times h_2
\]

Với \( h_1 \) và \( h_2 \) lần lượt là chiều cao từ \( D \) và \( E \) xuống cạnh đối diện. Từ đó, ta có:

\[
\text{Diện tích} \triangle ABC = \text{Diện tích} \triangle ABD + \text{Diện tích} \triangle BDC
\]
\[
\text{Diện tích} \triangle ABC = \text{Diện tích} \triangle ABE + \text{Diện tích} \triangle CBE
\]

4. **Tương ứng chiều cao**: Nếu \( BD = CE \), và diện tích các tam giác chia được đều bằng nhau, thì chiều cao tương ứng xuống các cạnh \( AC \) và \( AB \) cũng cần phải bằng nhau, từ đó suy ra \( AB = AC \).

5. **Kết luận**: Vậy nếu \( BD = CE \), thì \( AB = AC \), từ đó kết luận rằng tam giác \( ABC \) là tam giác cân.

Do đó, ta vừa chứng minh được rằng nếu hai đường trung tuyến của tam giác bằng nhau, thì tam giác đó là tam giác cân.