Để chứng minh rằng đoạn thẳng EF là phân giác góc AED trong tam giác ABC với các điểm E và F được xây dựng như mô tả, ta thực hiện các bước sau:

1. **Gọi các góc trong tam giác**:
- Gọi \(\angle ABD = \alpha\) và \(\angle ADB = \beta\). Khi đó, do AD là phân giác của góc A, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

2. **Thiết lập các góc**:
- Vì DE song song với AC, theo tính chất góc so le, ta có:
\[
\angle ADE = \angle AEC
\]
- Tương tự, vì DF song song với AB, ta có:
\[
\angle ADF = \angle AFB
\]

3. **Tính góc AED**:
- Xét góc AED, ta có:
\[
\angle AED = \angle ADE + \angle ADB = \angle AEC + \beta
\]

4. **Góc AEF và góc AFB**:
- Trong tứ giác AEFD, các cặp góc đối diện là bằng nhau do DE \| AC và DF \| AB:
\[
\angle AEF = \angle AFB = \beta
\]

- Vậy thì, góc AED cũng có thể viết lại như sau:
\[
\angle AED = \angle AEC + \beta = \angle ADE + \angle AFB
\]

5. **Áp dụng định lý về góc phân giác**:
- Từ các góc đã xác định, ta sẽ sử dụng tính chất của các phân giác. Theo định lý phân giác, nếu EF cắt đoạn AD, thì:
\[
\frac{AE}{ED} = \frac{AF}{FD}
\]
Suy ra EF là phân giác của góc AED.

Từ tất cả các lý luận và tính toán trên, ta có thể kết luận rằng EF chính là phân giác góc AED.