Để giải bài toán, ta làm như sau:

### a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB

1. **Vẽ hình**: Vẽ đường tròn (O; 4 cm) và dây AB với số đo góc AOB = 90 độ. Gọi C là điểm chính giữa của dây AB, thì OC là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

2. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Ta có tam giác vuông OAC.
- OA = 4 cm (bán kính).
- C là trung điểm của AB → AC = \(\frac{AB}{2}\).
- Khoảng cách OC, cần tìm, được tính theo công thức:
\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]

Với AB = 90 độ nên AC có thể tính từ hình dạng tam giác vuông. Ta có:
\[
AC = 2\sqrt{2} \text{ cm} \quad (\text{do } AB = 90°)
\]
=> \(AC = \frac{AB}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\).

3. **Áp dụng định lý**:
\[
4^2 = OC^2 + (2\sqrt{2})^2
\]
\[
16 = OC^2 + 8
\]
\[
OC^2 = 16 - 8 = 8
\]
\[
OC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ cm}
\]

### b) Tính độ dài dây AB

1. **Sử dụng định lý Pythagore** cho tam giác vuông OAC:
\[
OC^2 + AC^2 = OA^2
\]
\(OA = 4 \) cm, \( OC = 2\sqrt{2} \) cm và \(AC = 2\sqrt{2}\):
\[
AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài AB**:
\[
AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ cm}
\]

### Kết quả
- a) Khoảng cách từ O đến dây AB là \(2\sqrt{2} \) cm.
- b) Độ dài dây AB là \(4\sqrt{2} \) cm.