Để tìm giá trị \( x \) sao cho \( P(x) \) là mệnh đề đúng trong các trường hợp ở trên, ta phân tích từng mệnh đề:

a. \( P(x): x^2 - 5x + 4 = 0 \)

Giải phương trình:
\[
x^2 - 5x + 4 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-4) = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = 4
\]
Mệnh đề đúng khi \( x = 1 \) hoặc \( x = 4 \).

b. \( P(x): x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Giải phương trình:
\[
x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ hoặc } x = 3
\]
Mệnh đề đúng khi \( x = 2 \) hoặc \( x = 3 \).

c. \( P(x): x^2 - 3x > 0 \)

Giải bất phương trình:
\[
x^2 - 3x > 0 \Rightarrow x(x-3) > 0
\]
Điều này đúng khi \( x < 0 \) hoặc \( x > 3 \).

d. \( P(x): \sqrt{x} > x \)

Bất phương trình này không có nghiệm thực. Mệnh đề không đúng cho bất kỳ \( x \in \mathbb{R} \).

e. \( P(x): 2x + 3 < 7 \)

Giải bất phương trình:
\[
2x < 4 \Rightarrow x < 2
\]
Mệnh đề đúng khi \( x < 2 \).

f. \( P(x): x^3 + x + 1 > 0 \)

Phương trình \( x^3 + x + 1 = 0 \) có một nghiệm thực (xem xét hàm số và các giá trị). Tuy nhiên, ta biết được rằng \( x^3 + x + 1 \) dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \).

Tóm lại:

- a: Đúng tại \( x = 1, 4 \)
- b: Đúng tại \( x = 2, 3 \)
- c: Đúng khi \( x < 0 \) hoặc \( x > 3 \)
- d: Không có giá trị \( x \) nào
- e: Đúng khi \( x < 2 \)
- f: Đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \)

Vậy, các giá trị \( x \) sao cho \( P(x) \) đúng là \( x = 1, 4, 2, 3 \), \( x < 0 \), \( x > 3 \), \( x < 2 \) và \( x \in \mathbb{R} \) cho f.