Để chứng minh các bài toán này, ta sẽ xử dụng nguyên lý quy nạp và tính chất của số chia hết.

### a) Chứng tỏ \(3^{n + 2} + 3^{n}\) chia hết cho 10

**Bước 1: Xét với \(n = 0\)**

\[
3^{0 + 2} + 3^{0} = 3^2 + 3^0 = 9 + 1 = 10 \quad (chia \, hết \, cho \, 10)
\]

**Bước 2: Giả sử đúng cho \(n = k\)**

Giả sử \(3^{k + 2} + 3^{k}\) chia hết cho 10.

**Bước 3: Chứng minh cho \(n = k + 1\)**

Ta có:

\[
3^{(k + 1) + 2} + 3^{(k + 1)} = 3^{k + 3} + 3^{k + 1} = 3 \cdot 3^{k + 2} + 3 \cdot 3^k = 3(3^{k + 2} + 3^k)
\]

Vì theo giả thuyết quy nạp, \(3^{k + 2} + 3^k\) chia hết cho 10, nên:

\[
3(3^{k + 2} + 3^k) \quad (chia \, hết \, cho \, 10)
\]

Vậy, theo nguyên lý quy nạp, \(3^{n + 2} + 3^{n}\) chia hết cho 10 với mọi \(n \in \mathbb{N}\).

---

### b) Chứng tỏ \(7^{n^4} - 7^{n}\) chia hết cho 30

**Bước 1: Xét với \(n = 1\)**

\[
7^{1^4} - 7^{1} = 7^1 - 7^1 = 0 \quad (chia \, hết \, cho \, 30)
\]

**Bước 2: Giả sử đúng cho \(n = k\)**

Giả sử \(7^{k^4} - 7^{k}\) chia hết cho 30.

**Bước 3: Chứng minh cho \(n = k + 1\)**

Ta có:

\[
7^{(k + 1)^4} - 7^{(k + 1)} = 7^{k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1} - 7^{k + 1}
\]

Đặt \(x = 7^{k}\), ta có:

\[
x^{(k + 1)^4} - x^{(k + 1)} = x^{(k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1)} - x^{(k + 1)}
\]

Mục tiêu là cần chứng minh biểu thức này chia hết cho 30. Ta biết \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\).

**Bước 4: Chứng minh chia hết cho 2, 3, và 5**

1. **Chia hết cho 2**: Dễ thấy \(7^n \equiv 1 \mod 2\) nên \(7^{n^4} - 7^n \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 2\).

2. **Chia hết cho 3**: Ta có \(7 \equiv 1 \mod 3\) nên \(7^{n^4} - 7^n \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3\).

3. **Chia hết cho 5**: Ta có \(7 \equiv 2 \mod 5\) và bằng định lý Fermat, \(7^4 \equiv 1 \mod 5\). Do đó, ta cần xét \(n^4 \mod 4\).

- Nếu \(n \equiv 0 \mod 4\) hoặc \(n \equiv 2 \mod 4\): \(n^4 \equiv 0 \mod 4\).
- Nếu \(n \equiv 1 \mod 4\) hoặc \(n \equiv 3 \mod 4\): \(n^4 \equiv 1 \mod 4\).

Tùy thuộc vào giá trị của \(n\) mà \(7^{n^4} - 7^{n} \equiv 0 \mod 5\).

Chứng minh này tiếp tục cho mọi \(n\) và kết luận rằng \(7^{n^4} - 7^{n}\) chia hết cho 30 với mọi \(n \in \mathbb{N}\).

Từ đó kết luận \(7^{n^4} - 7^{n}\) chia hết cho 30 cho mọi \(n \in \mathbb{N}\).