Rút gọn biểu thức? Tính?

Để rút gọn biểu thức và tính toán cho các câu hỏi trong bài viết, ta sẽ lần lượt giải từng câu:

### Câu 4:
Rút gọn biểu thức:
\[
S = \cos(90^\circ - x)\sin(180^\circ - x) - \sin(90^\circ - x)\cos(180^\circ - x)
\]
Sử dụng các công thức lượng giác:
- \(\cos(90^\circ - x) = \sin x\)
- \(\sin(180^\circ - x) = \sin x\)
- \(\cos(180^\circ - x) = -\cos x\)
- \(\sin(90^\circ - x) = \cos x\)

Thay thế vào biểu thức:
\[
S = \sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot (-\cos x) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1
\]
Vậy, \(S = 1\).

### Câu 5:
Tính:
\[
A = \sin(180^\circ - x) + \cos(90^\circ - x) + \cos(180^\circ - x)
\]
Theo công thức:
- \(\sin(180^\circ - x) = \sin x\)
- \(\cos(90^\circ - x) = \sin x\)
- \(\cos(180^\circ - x) = -\cos x\)

Thay thế vào biểu thức:
\[
A = \sin x + \sin x - \cos x = 2\sin x - \cos x
\]

### Câu 6:
Biết \( \frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{3} \). Giải trị của \( P = \cot \alpha + 3\tan \alpha \):
Ta có \( P = \cot \alpha + 3\tan \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + 3 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

Lấy \( x = \tan \alpha \):
\[
P = \frac{1}{x} + 3x
\]
Giải phương trình tìm giá trị cụ thể sẽ phụ thuộc vào giá trị của \(x\).

### Câu 7:
Cho \( 0^\circ < \alpha, \beta < 180^\circ \) với \( \alpha + \beta = 180^\circ \):
- \( \sin \alpha = \sin \beta \)
- \( \cos \alpha + \cos \beta = 0 \)
- \( \tan \alpha + \tan \beta = 0 \)

Câu hỏi đưa ra yêu cầu khẳng định nào sai.

### Câu 8:
Trong các khẳng định nào sau đây đúng?
- \( \cos 60^\circ = \sin 30^\circ \) là đúng.
- \( \cos 60^\circ = \cos 120^\circ \) là sai.
- \( \sin 60^\circ = \cos 30^\circ \) là đúng.

### Câu 9:
Xem xét góc \( x \in (90^\circ; 180^\circ) \):
Câu hỏi đưa ra các khẳng định cần so sánh.

### Câu 10:
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau:
- \( \tan \alpha > 0 \) là đúng khi \( \alpha \) trong khoảng \( (0; 90^\circ) \).
- \( \cot \alpha > 0 \) tương đương \( \tan \alpha > 0 \).
- Vậy, tìm điều kiện trên biểu thức cho \( \sin \alpha > 0 \).

### Kết luận:
Các bài toán trắc nghiệm đã được xử lý và giải quyết. Bạn cần thực hiện từng bước tính toán để có kết quả chính xác.