Cho hình vuông ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn

Để chứng minh bốn điểm \(M, N, P, Q\) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của hình vuông và một số tính chất về tam giác.

1. Gọi các tọa độ của các điểm trong hình vuông:
- \(A(0, 1)\)
- \(B(1, 1)\)
- \(C(1, 0)\)
- \(D(0, 0)\)
- Điểm \(O\) là trung điểm của các đường chéo \(AC\) và \(BD\), nên \(O\) có tọa độ \(\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)\).

2. Giả sử hai đường thẳng qua \(O\) vuông góc với nhau cắt các cạnh \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) tại các điểm \(M, N, P, Q\).

3. Xét góc \( \angle MOA \) và \( \angle NOB \):
- Vì \(OM\) và \(ON\) vuông góc với nhau, nên chúng tạo ra các tam giác vuông tại \(O\).

4. Tiếp tục ta xét các tam giác \(OQM\) và \(OPN\):
- Mỗi tam giác đều có cạnh góc vuông và điểm \(O\) là điểm đối xứng của hình vuông. Do đó, nếu góc \(MOQ\) bằng góc \(NOP\) (vì \(OM \perp OA\) và \(ON \perp OB\)), thì từ đó ta có thể kết luận rằng các điểm này có khả năng cùng thuộc một đường tròn.

5. Theo tính chất của hình vuông, các đoạn thẳng \(OM\), \(ON\), \(OP\), và \(OQ\) sẽ tương ứng với khoảng cách từ \(O\) tới các cạnh của hình vuông và do đó, các đoạn này có cùng độ dài bằng nhau.

6. Từ các mối quan hệ và độ dài đoạn thẳng này, ta có thể xây dựng một đường tròn có tâm \(O\) với bán kính bằng độ dài của các đoạn thẳng \(OM\), \(ON\), \(OP\), và \(OQ\).

Kết luận: Bốn điểm \(M, N, P, Q\) cùng nằm trên một đường tròn, vì chúng đều có khoảng cách bằng nhau từ điểm \(O\).

Vậy, bốn điểm \(M, N, P, Q\) cùng thuộc một đường tròn.