Để viết biểu thức \( \frac{1}{4}x^2 + x + 1 \) dưới dạng bình phương của một tổng, ta hãy làm theo các bước sau:

1. **Nhận diện hệ số**: Ta thấy hệ số của \( x^2 \) là \( \frac{1}{4} \). Để dễ dàng hơn, ta chuẩn bị biến đổi đối với biểu thức này.

2. **Phân tích thành dạng tổng**: Ta viết lại biểu thức với hệ số \( x^2 \) là 1 dưới dạng cộng:

\[
\frac{1}{4}x^2 + x + 1 = \frac{1}{4}(x^2 + 4x) + 1
\]

3. **Hoàn thành bình phương**: Ta hoàn thành bình phương cho phần \( x^2 + 4x \):

\[
x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4
\]

4. **Thay thế vào biểu thức**:

\[
\frac{1}{4}\left((x + 2)^2 - 4\right) + 1
\]

5. **Giải phóng dấu ngoặc và sắp xếp lại**:

\[
= \frac{1}{4}(x + 2)^2 - 1 + 1
\]
\[
= \frac{1}{4}(x + 2)^2
\]

Vậy, biểu thức ban đầu \( \frac{1}{4}x^2 + x + 1 \) có thể viết lại dưới dạng bình phương của một tổng như sau:

\[
\frac{1}{4}(x + 2)^2
\]