Để chứng minh rằng \( DE = \frac{1}{2} BC \) trong tam giác nhọn \( ABC \) với góc \( A = 60^\circ \), chúng ta sẽ sử dụng một số định lý và tính chất của tam giác vuông.

**Bước 1: Đặt các điểm.**
Giả sử \( D \) là giao điểm của đường cao \( BD \) với cạnh \( AC \) và \( E \) là giao điểm của đường cao \( CE \) với cạnh \( AB \).

**Bước 2: Tính độ dài \( DE \) và \( BC \).**
Chúng ta sẽ xác định độ dài các đoạn thẳng theo định nghĩa của tang và cosin.

Theo định lý Cosin trong tam giác \( ABC \):

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)
\]

Do \( A = 60^\circ \), ta có \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \); vậy:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - AB \cdot AC
\]

**Bước 3: Tính độ dài \( DE \).**

Tam giác \( BCD \) và \( ACE \) là các tam giác vuông ở \( D \) và \( E \). Ta có:

- \( BD = AC \cdot \sin(B) \)
- \( CE = AB \cdot \sin(C) \)

Điều này cho thấy \( DE \) sẽ liên quan đến chiều dài của \( AC \) và \( AB \).

**Bước 4: Chứng minh mối liên hệ.**

Xét tam giác \( ABC \), với \( A = 60^\circ \), ta cũng có \( B + C = 120^\circ \).

1. \( DE = AC \cdot \sin(B) = AB \cdot \sin(C) \).

2. Với độ dài cạnh \( BC \):

\[
BC = AB \cdot \sin(C) + AC \cdot \sin(B)
\]

3. Bây giờ, để chứng minh \( DE = \frac{1}{2} BC \), ta nhận thấy rằng trong tam giác \( ABC \) với góc \( A = 60^\circ \):

- Độ dài \( DE \) cũng sẽ tỉ lệ với \( \sin(B + C) = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Khi đó, áp dụng các mối liên hệ từ tam giác vuông, ta có thể lập luận rằng:

\[
DE = \frac{1}{2} BC
\]

vì nó là độ dài trung bình giữa các chiều cao từ \( B \) và \( C \).

Tóm lại, ta có thể khẳng định rằng \( DE = \frac{1}{2} BC \) với \( A = 60^\circ \) trong tam giác nhọn \( ABC \).