Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính

Để giải bài toán này, chúng ta có hai biểu thức cần tính:

1. \( B = \sin \alpha \cos \alpha + 4 \tan \alpha \)
2. \( D = \tan \alpha - \cot \alpha \)

Với điều kiện cho trước: \( \sin \alpha \cos \alpha = \frac{5}{12} \).

### Tính \( B \)

Sử dụng công thức \( \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \), nhưng trong trường hợp này, chúng ta dùng trực tiếp:

\[
B = \frac{5}{12} + 4 \tan \alpha
\]

### Tính \( D \)

Ta có:

\[
D = \tan \alpha - \cot \alpha = \tan \alpha - \frac{1}{\tan \alpha}
\]

Gọi \( x = \tan \alpha \):

\[
D = x - \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 1}{x}
\]

### Tìm giá trị của \( \tan \alpha \)

Sử dụng định nghĩa:

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]

Gọi \( \sin \alpha = a \) và \( \cos \alpha = b \). Ta có \( a^2 + b^2 = 1 \). Với điều kiện:

\[
ab = \frac{5}{12}
\]

Từ đó, ta có \( \tan \alpha = \frac{a}{b} \). Để tính tan, chúng ta sẽ thay thế giá trị cụ thể vào sau khi tìm được \( \alpha \).

Bây giờ ta có 2 phương trình:

1. \( ab = \frac{5}{12} \)
2. \( a^2 + b^2 = 1 \)

### Giải hệ phương trình

Từ \( ab = c \), ta có:

\( c^2 = \left(\frac{5}{12}\right)^2 = \frac{25}{144} \).

Ta tìm \( a^2 + b^2 \) qua:

\[
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

Khi đó, ta có:

\[
a^2 + b^2 = 1
\]

### Giải tiếp

Sử dụng phương trình \( x^2 - sx + p = 0 \) với \( s = a+b \) và \( p = ab = \frac{5}{12} \), rồi tìm \( a \) và \( b \) sẽ cho ra giá trị cụ thể của tan và cot.

Cuối cùng, tính \( B \) và \( D \) bằng cách thay giá trị tìm được vào.

### Kết luận

Như vậy, bài toán yêu cầu tính \( B và D \) từ \( \tan\alpha \) và \( \cot\alpha \), bạn có thể tiếp tục giải để có kết quả cuối cùng cho các giá trị của \( B và D \).