Để chứng minh các kết quả về tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và bất đẳng thức cơ bản.

**a) Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác bé hơn chu vi của tứ giác.**

Gọi tứ giác là \( ABCD \) với các cạnh lần lượt là \( AB, BC, CD, DA \). Diện tích tứ giác có thể được chia thành hai tam giác thông qua hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác \( ABC \):
\[
AC < AB + BC
\]

Tương tự, chúng ta có cho tam giác \( ACD \):
\[
AC < AD + CD
\]

Tổng hợp lại:
\[
AC < AB + BC + AD + CD = P
\]
trong đó \( P \) là chu vi của tứ giác \( ABCD \).

Tương tự, áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác \( ABD \) và tam giác \( BCD \):
\[
BD < AB + AD
\]
\[
BD < BC + CD
\]

Chúng ta có thể ghi lại:
\[
BD < AB + AD + BC + CD = P
\]

Từ hai bất đẳng thức trên, ta có:
\[
AC + BD < P + P = 2P
\]
do đó:
\[
AC + BD < P
\]

Vậy tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác bé hơn chu vi của tứ giác.

**b) Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác lớn hơn tổng hai cạnh đối tùy ý của tứ giác, từ đó lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.**

Một lần nữa, hãy gọi tứ giác là \( ABCD \). Chúng ta sẽ chứng minh rằng:
\[
AC + BD > AB + CD
\]

Sử dụng bất đẳng thức tam giác như ở trên:
- Đối với tam giác \( ABD \):
\[
AB + AD > BD
\]

Biểu thức trên có thể đảo lại:
\[
BD < AB + AD
\]

Tương tự cho tam giác \( BCD \):
\[
BC + CD > BD
\]

Từ bất đẳng thức này, ta có:
\[
BD < AD + AC
\]

Kết hợp các bất đẳng thức này, ta sẽ có:
\[
AC + BD > AB + CD
\]

Điều này chứng tỏ rằng tổng độ dài của hai đường chéo lớn hơn tổng của hai cạnh đối \( AB + CD \).

Từ đó, chúng ta cũng có:
\[
AC + BD > \frac{P}{2}
\]
vì nửa chu vi \( \frac{P}{2} \) của tứ giác là:
\[
\frac{1}{2} (AB + BC + CD + DA) = \frac{AB + CD + BC + DA}{2} > AB + CD
\]

Cuối cùng, ta đã chứng minh được như yêu cầu.