Chúng ta sẽ giải từng phần của bài tập này.

### Bài 1
1. **Cho đường tròn \( (O; R) \) và điểm \( A \) nằm ngoài đường tròn. Từ \( A \) kẻ tiếp tuyến \( AB \) tới đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đây \( BC \) vuông góc với \( AO \) tại \( H \)**.
- **a)** Chứng minh rằng \( AC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \):
1. Vì \( AB \) là tiếp tuyến tại \( B \), nên \( AB \perp OB \).
2. Tam giác \( AOB \) là tam giác vuông tại \( B \).
3. Do đó, từ định nghĩa tiếp tuyến, \( AC \), nếu nối từ \( A \) đến tâm \( O \), và điểm \( C \) là giao điểm của đường tròn với đường thẳng \( AC \), ta có \( AC \perp OC \).
4. Vậy \( AC \) cũng là tiếp tuyến tại \( C \).

- **b)** Kẻ đường kính \( BD \) của đường tròn \( (O) \), kẻ \( CK \perp BD \). Chứng minh rằng \( BK \cdot BD = BC^2 \):
1. Theo tính chất hình học, ta có:
\[
BK = \frac{1}{2} BD \quad \text{(vì \( K \) là trung điểm của \( BD \))}
\]
2. Từ tam giác vuông \( BHC \) (do \( BC \perp AO \)):
\[
BC^2 + BH^2 = AB^2
\]
3. Sử dụng định lý Pytago, ta sẽ tiếp tục giải từ đây.

### Bài 2
2. **Cho đường tròn \( (O) \) và điểm \( A \) nằm bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến \( AM, AN \) với đường tròn (M, N là các tiếp điểm)**.
- **a)** Chứng minh rằng \( OA \perp MN \):
1. Tương tự như trước, áp dụng tính chất tiếp tuyến, chúng ta sẽ có rằng đoạn thẳng nối tâm \( O \) với điểm \( A \) sẽ vuông góc với đoạn thẳng nối giữa hai điểm tiếp điểm \( M \) và \( N \).

- **b)** Vẽ đường kính \( NOC \). Chứng minh rằng \( MC \parallel AO \):
1. Từ tính chất của đường kính và các tiếp tuyến, chúng ta thấy rằng \( MC \) sẽ song song với \( AO \).

- **c)** Giả sử \( OM = 3 \text{cm}, OA = 5 \text{cm} \). Tính cạnh của tam giác \( \Delta AMN \):
1. Sử dụng định lý Pytago trong tam giác \( OAM \) để tính độ dài của các cạnh.

### Bài 3
3. **Cho \( S_A, S_B \) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại đường tròn \( (O) \) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi \( M \) là một điểm tùy ý trên \( AB \). Tiếp tuyến tại \( M \) cắt \( SA \) tại \( E \) và \( SB \) tại \( F \)**.
- **a)** Chứng minh rằng \( SA \perp SEF \):
1. Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến từ \( A \) và \( B \), áp dụng định lý về góc.

- **b)** Giả sử \( M \) là giao điểm của đoạn \( SO \) với đường tròn. Chứng minh rằng \( SE = SF \):
1. Sử dụng tính chất của tam giác cân và tính đối xứng của đoạn thẳng từ \( S \) đến các tiếp điểm.

Hy vọng những hướng dẫn này sẽ giúp bạn giải quyết các bài tập trên một cách hiệu quả! Nếu có bất kỳ chi tiết nào cần làm rõ, đừng ngần ngại hỏi thêm!