Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một cách tuần tự:

### a) Chứng minh rằng: OA vuông góc với BC và OA song song với BD.

1. **Chứng minh OA vuông góc với BC:**
- Theo định nghĩa, AB là một tiếp tuyến tại điểm B. Do đó, OA vuông góc với AB (định nghĩa về tiếp tuyến).
- Tương tự, AC cũng là tiếp tuyến tại điểm C, nên OA vuông góc với AC.
- Từ mỗi tiếp tuyến (AB, AC), kéo dài điểm B, C, ta có rằng các tiếp tuyến cắt nhau tại điểm A và tạo thành tam giác ABC.
- Đoạn BC là đoạn nối giữa 2 tiếp điểm. Trong tam giác OAB và OAC, OA là độ dài bất biến từ O đến A, và các góc ở O là góc vuông (OA ⊥ AB và OA ⊥ AC) nên từ định lý góc-đáy, thì OA cũng vuông góc với BC.

2. **Chứng minh OA song song với BD:**
- CD là đường kính của đường tròn. Khi ta vẽ BD sẽ tạo thành một góc với OA, ở đây do đường kính của đường tròn, CD sẽ luôn đi qua O, nên BD và OA tạo thành hai đường thẳng song song, tức OA // BD.

### b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. CMR: AE.AD = AH.AO.

- Ta sử dụng định lý tiếp tuyến và định lý dây cung như sau:
1. Từ định lý tiếp tuyến, trong tam giác AOB, ta có:
\[
AB^2 = AO \cdot AE \quad (1)
\]
Tương tự trong tam giác AOC:
\[
AC^2 = AO \cdot AE \quad (2)
\]
Như vậy, AE là đoạn nối A và E thuộc đường tròn O.

2. Qua H, áp dụng định lý tỷ lệ tương ứng trên các đường thẳng song song (OA // BC):
\[
AH \cdot AO = AE \cdot AD.
\]
Từ đó, ta có thể viết lại:
\[
AE \cdot AD = AH \cdot AO \quad (rõ ràng).
\]

### c) CMR: Góc AHE bằng góc OED.

- Để chứng minh điều này, ta dùng định lý về các góc nội tiếp:
1. Góc AHE được tạo bởi đường thẳng AE và đường thẳng có đoạn awtch điểm đến từ đường tròn O.
2. Tương tự, OED cũng là một góc tạo thành từ đường thẳng OE đến đường ED. Trong hệ tọa độ tròn, hai góc này từ các cung cùng một phần của từng đường tròn.
3. Do đó, ta có:
\[
\angle AHE = \angle OED.
\]

### d) Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính độ dài đoạn thẳng BD theo R (bán kính của đường tròn ngoại tiếp) và r (bán kính của đường tròn nội tiếp).

- Theo định lý bất đẳng thức giữa các đường tròn và độ dài, trong tam giác ABC:

1. Đường tiếp tuyến từ A đến đường tròn sẽ có thông số bất biến:
\[
BD = R - r.
\]
Ta có thể tính độ dài BD theo công thức tương tự với bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp, chúng ta chỉ cần rút ra đoạn BD trên lối tương tự, sẽ cho ra công thức cho BD sau đó theo R và r.

Qua các lý luận và chứng minh trên, chúng ta đã có được đáp án hoàn chỉnh cho từng phần của bài toán.