Đặt số viên kim cương là \( x \), số viên ruby là \( y \), số viên sapphire là \( z \), số viên ngọc lục bảo là \( w \), và số viên thạch anh là \( v \).

Chúng ta có các hệ phương trình sau dựa vào thông tin đã cho:

1. \( x + y + z + w + v = 100 \) (Tổng số viên là 100)
2. \( x + y = 38 \) (Tổng kim cương và ruby)
3. \( y + z = 31 \) (Tổng ruby và sapphire)
4. \( z + w = 49 \) (Tổng sapphire và ngọc lục bảo)
5. \( w + v = 37 \) (Tổng ngọc lục bảo và thạch anh)

Giải quyết các phương trình trên:

Từ phương trình (2) chúng ta có:

\[
x = 38 - y
\]

Từ phương trình (3):

\[
z = 31 - y
\]

Từ phương trình (4):

\[
w = 49 - z = 49 - (31 - y) = 18 + y
\]

Từ phương trình (5):

\[
v = 37 - w = 37 - (18 + y) = 19 - y
\]

Thay các giá trị \( x, z, w, v \) vào phương trình (1):

\[
(38 - y) + y + (31 - y) + (18 + y) + (19 - y) = 100
\]

Rút gọn phương trình:

\[
38 + 31 + 18 + 19 = 100
\]

\[
106 = 100
\]

Điều này cho thấy quá trình giải đã cho kết quả không hợp lý. Do đó, ta sẽ thay giá trị các biến vào phương trình (1):

Thay \( x, z, w, v \) vào phương trình (1):

\[
(38 - y) + y + (31 - y) + (18 + y) + (19 - y) = 100
\]

\[
38 + 31 + 18 + 19 - y = 100
\]

\[
106 - y = 100
\]

\[
y = 6
\]

Thay \( y = 6 \) vào các phương trình để tìm ra các giá trị còn lại:

1. Tìm \( x \):

\[
x = 38 - y = 38 - 6 = 32
\]

2. Tìm \( z \):

\[
z = 31 - y = 31 - 6 = 25
\]

3. Tìm \( w \):

\[
w = 49 - z = 49 - 25 = 24
\]

4. Tìm \( v \):

\[
v = 37 - w = 37 - 24 = 13
\]

Vậy số viên của mỗi loại là:

- Kim cương (x): 32 viên
- Ruby (y): 6 viên
- Sapphire (z): 25 viên
- Ngọc lục bảo (w): 24 viên
- Thạch anh (v): 13 viên

Kiểm tra tổng số viên:

\[
32 + 6 + 25 + 24 + 13 = 100
\]

Vậy kết quả là chính xác. Số lượng viên của từng loại đá quý là:

- Kim cương: 32 viên
- Ruby: 6 viên
- Sapphire: 25 viên
- Ngọc lục bảo: 24 viên
- Thạch anh: 13 viên