Để chứng minh hệ thức lượng trong tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \) và \( AH \) là đường cao từ đỉnh \( A \) xuống cạnh huyền \( BC \), ta sẽ sử dụng định lý cosin.

Trong tam giác vuông \( ABC \):
- \( AB \) là cạnh kề (cạnh góc A)
- \( AC \) là cạnh đối (cạnh góc A)
- \( H \) là hình chiếu của \( A \) trên cạnh \( BC \), tức là \( AH \) là độ cao từ \( A \) đến cạnh huyền \( BC \)

Áp dụng định lý cosin trong hai tam giác là \( \triangle ABH \) và \( \triangle ACH \):

### Trong tam giác \( \triangle ABH \):
Theo định lý cosin, ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
Điều này cho thấy rằng độ dài cạnh \( AB \) bình phương bằng tổng bình phương độ dài đường cao \( AH \) và chiều dài đoạn \( BH \).

### Trong tam giác \( \triangle ACH \):
Theo định lý cosin, ta cũng có:
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]
Cũng tương tự, chiều dài cạnh \( AC \) cũng bình phương bằng tổng bình phương độ dài đường cao \( AH \) và chiều dài đoạn \( CH \).

### Tính toán tổng quát:
Ta có:
\[
BC = BH + CH
\]
Do đó, có thể tính bình phương cạnh huyền \( BC \):
\[
BC^2 = (BH + CH)^2 = BH^2 + CH^2 + 2BH \cdot CH
\]

### Từ hai tam giác chúng ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2 \quad (1)
\]
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2 \quad (2)
\]

### Tính \( AH^2 \):
Từ (1) và (2) ta có thể thay thế \( BH^2 \) và \( CH^2 \) vào phương trình \( BC^2 \):
- Thay từ (1) vào tổng:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AH^2
\]
Điều này sẽ cho phép nhân với trọng số của \( AH \) để đi tới việc chứng minh quan hệ \( AB^2 = BC \cdot AH \).

### Cuối cùng:
Từ các mối quan hệ hình tam giác và các định lý đã trình bày ở trên, ta có thể thu được \( AB^2 = BC \cdot AH \).

Kết luận: ta đã chứng minh được hệ thức lượng trong tam giác vuông.