Để chứng minh đẳng thức \( \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AI^2} \) cho hình vuông \( ABCD \) với \( A \) là một điểm trên cạnh \( AB \), \( M \) là giao điểm của đường thẳng đi qua \( A \) cắt \( BC \), và \( I \) là giao điểm của đường thẳng đó cắt tiếp một phần kéo dài của cạnh \( CD \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hình học.

Giả sử hình vuông \( ABCD \) có cạnh bằng \( a \). Ta có:

- \( AB = a \)
- Tọa độ các điểm sẽ được xác định như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, a) \)
- \( D(0, a) \)

Giả sử đường thẳng đi qua \( A \) có phương trình dạng \( y = mx \) với \( m \) là hệ số góc. Ta tìm được tọa độ của các điểm \( M \) và \( I \).

### Tìm tọa độ điểm \( M \)

Điểm \( M \) chính là giao điểm của đường thẳng \( y = mx \) với cạnh \( BC \) có phương trình \( x = a \):

\[
y = m \cdot a \Rightarrow M(a, ma)
\]

### Tìm tọa độ điểm \( I \)

Điểm \( I \) chính là giao điểm của đường thẳng \( y = mx \) với phần kéo dài của cạnh \( CD \) có phương trình \( y = a \):

\[
a = mx \Rightarrow x = \frac{a}{m} \Rightarrow I\left(\frac{a}{m}, a\right)
\]

### Tính khoảng cách

1. **Tính \( AB^2 \)**:

\[
AB^2 = a^2
\]

2. **Tính \( AM^2 \)**:

\[
AM^2 = (a - 0)^2 + (ma - 0)^2 = a^2 + (ma)^2 = a^2(1 + m^2)
\]

3. **Tính \( AI^2 \)**:

\[
AI^2 = \left(\frac{a}{m} - 0\right)^2 + (a - 0)^2 = \left(\frac{a}{m}\right)^2 + a^2 = \frac{a^2}{m^2} + a^2 = a^2\left(\frac{1}{m^2} + 1\right)
\]

### Áp dụng vào đẳng thức

Ta cần chứng minh:

\[
\frac{1}{AB^2} = \frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AI^2}
\]

Thay giá trị của \( AB^2 \), \( AM^2 \), và \( AI^2 \):

\[
\frac{1}{a^2} = \frac{1}{a^2(1+m^2)} + \frac{1}{a^2\left(\frac{1}{m^2} + 1\right)}
\]

Rút gọn các vế:

\[
\frac{1}{a^2} = \frac{1}{a^2} \left( \frac{1}{1+m^2} + \frac{1}{\frac{1}{m^2}+1} \right)
\]

Ta sẽ tính \( \frac{1}{1+m^2} + \frac{1}{\frac{1}{m^2}+1} \):

\[
\frac{1}{\frac{1}{m^2} + 1} = \frac{m^2}{1 + m^2}
\]

Vì vậy, ta có:

\[
\frac{1}{1+m^2} + \frac{m^2}{1+m^2} = \frac{1 + m^2}{1 + m^2} = 1
\]

Kết luận:

\[
\frac{1}{a^2} = \frac{1}{a^2} \cdot 1
\]

Vậy ta đã chứng minh xong:

\[
\frac{1}{AB^2} = \frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AI^2}
\]