Để chứng minh các tỉ số lượng giác của một góc nhọn \(\alpha\), ta sử dụng định nghĩa các tỉ số này trong một tam giác vuông.

### a) Chứng minh \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)

Trong một tam giác vuông, giả sử góc nhọn \(\alpha\) tại đỉnh là góc A. Gọi chiều dài cạnh đối diện góc A là \(a\), cạnh kề là \(b\), và cạnh huyền là \(c\).

Theo định nghĩa các tỉ số lượng giác:
- \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\)
- \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\)

Từ đó ta có:
\[
\tan \alpha = \frac{a}{b}
\]

Chúng ta có thể thay đổi tỉ số \(\tan \alpha\) theo \(\sin\) và \(\cos\):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{b}
\]
Vậy \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

### b) Chứng minh \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Từ định nghĩa của \(\sin\) và \(\cos\):
\[
\sin^2 \alpha = \left(\frac{a}{c}\right)^2 = \frac{a^2}{c^2}
\]
\[
\cos^2 \alpha = \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \frac{b^2}{c^2}
\]

Ta có:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}
\]

Theo định lý Pythagore, trong tam giác vuông:
\[
c^2 = a^2 + b^2 \implies \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1
\]
Vậy \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Phép chứng minh đã hoàn tất!