Cho tứ giác ABCD có góc A = góc C =90 độ, có AB= 6 cm, AD = 8 cm . Chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc 1 đường tròn . Tìm bán kính đường tròn đó

Để chứng minh tứ giác ABCD có 4 đỉnh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, chúng ta cần chứng minh các góc đối diện của tứ giác này là bù nhau. Ta biết rằng góc A và góc C đều bằng 90 độ, do đó chúng có đặc điểm sau:

- Góc A + góc C = 90° + 90° = 180° (có tính chất bù nhau)

Theo định lý của tứ giác có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn (đối diện bù nhau), ta có thể kết luận rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính bán kính của đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D.

Đầu tiên, chúng ta tính độ dài các cạnh còn lại của tứ giác ABCD.

1. **Tính độ dài AC**:
- Ta có tam giác vuông ABC với AB = 6 cm, AD = 8 cm.
- Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABC (vì góc A = 90°):
\[
AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 cm
\]

2. **Tính bán kính R** của đường tròn:
- Trong tứ giác nội tiếp, bán kính R của đường tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D có thể tính bằng công thức:
\[
R = \frac{abc}{4S}
\]
Trong đó:
- \(a = AB = 6 cm\)
- \(b = AD = 8 cm\)
- \(c = AC = 10 cm\)
- \(S\) là diện tích của tứ giác. Diện tích S của tứ giác ABCD (vì có 2 hình chữ nhật vuông) được tính bằng:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, cm^2
\]

Bây giờ áp dụng công thức hí trên vào:
\[
R = \frac{6 \times 8 \times 10}{4 \times 24} = \frac{480}{96} = 5 cm
\]

Vậy, bán kính đường tròn chứa 4 điểm A, B, C, D là **5 cm**.

Tóm tắt:
- Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
- Bán kính của đường tròn là \(R = 5 \, cm\).