Để giải phương trình:

\[
\frac{3}{x+2} + \frac{x}{x^2 - 2x + 4} = \frac{4x^2}{x^3 + 8}
\]

Ta bắt đầu bằng cách phân tích các phần tử của phương trình.

1. **Phân tích mẫu số:**
- \( x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \) (theo công thức tổng lập)

2. **Đưa toàn bộ về mẫu số chung:**
- Mẫu số chung sẽ là \( (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \).

3. **Biến đổi các phần tử của phương trình:**
- **Phần trái:**
- \(\frac{3}{x + 2}\) nhân với \( \frac{x^2 - 2x + 4}{x^2 - 2x + 4} \) sẽ cho \(\frac{3(x^2 - 2x + 4)}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}\).
- \(\frac{x}{x^2 - 2x + 4}\) nhân với \( \frac{x + 2}{x + 2} \) sẽ cho \(\frac{x(x + 2)}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}\).

- Tổng lại:
\[
\frac{3(x^2 - 2x + 4) + x(x + 2)}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}
\]

4. **Công thức bên phải:**
- \(\frac{4x^2}{x^3 + 8} = \frac{4x^2}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}\)

5. **Đặt cả hai bên bằng nhau:**
- Đặt mẫu số chung là \( (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \), ta có:
\[
3(x^2 - 2x + 4) + x(x + 2) = 4x^2
\]

6. **Rút gọn và giải phương trình:**
\[
3x^2 - 6x + 12 + x^2 + 2x = 4x^2
\]
\[
4x^2 - 4x + 12 = 4x^2
\]

\[
-4x + 12 = 0
\]

Từ đó:
\[
4x = 12 \Rightarrow x = 3
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 3 \).