Để chứng minh \( Ax \parallel BC \) và tính \( CAx \), ta sẽ thực hiện các bước sau đây:

### a) Chứng minh \( Ax \parallel BC \)

1. **Dữ liệu đã cho**:
- Tam giác \( ABC \) có \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- \( \angle ACB = 30^\circ \).
- Tia \( Ax \) vuông góc với \( AH \) và \( C \) thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ \( AH \).

2. **Chứng minh**:
- Vì \( Ax \) vuông góc với \( AH \) và \( AH \) vuông góc với \( BC \), nên chúng ta có:
\[
\angle AHB = 90^\circ \text{ và } \angle AHx = 90^\circ.
\]
- Theo định lý quy tắc về góc đồng vị, nếu 2 đường thẳng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau. Do đó:
\[
Ax \parallel BC.
\]

### b) Tính \( CAx \)

1. **Sử dụng tam giác vuông**:
- Trong tam giác \( AHC \):
- \( \angle AHC = \angle ACB = 30^\circ \) (do tính chất của góc và đường thẳng).
- \( \angle HAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

2. **Góc \( CAx \)**:
- Do \( Ax \parallel BC \) nên góc \( CAx \) bằng góc \( ACB \):
\[
CAx = \angle ACB = 30^\circ.
\]

### Kết luận:
- \( Ax \parallel BC \) và \( CAx = 30^\circ \).