Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ hình thang cân ADCB với BC là đáy lớn. Chứng minh: ∆BAC = ∆BDC. Từ đó chứng minh: ∆BDC vuông

Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a. Chứng minh \(\Delta BAC \cong \Delta BDC\) và từ đó chứng minh \(\Delta BDC\) vuông:

1. **Xét các điều kiện để chứng minh \(\Delta BAC \cong \Delta BDC\)**:
- Gọi \(D\) là điểm trên đường thẳng \(BC\) sao cho \(AD\) vuông góc với \(BC\) (do hình thang ADCB là hình thang cân ở A).
- Ta có:
- \(\angle BAC = \angle BDC\) (do \(AD \perp BC\)).
- \(AB = BD\) (do hình thang cân ADCB, các cạnh AB và CD bằng nhau).
- \(AC = BC\) (cạnh chung của hai tam giác).

Từ đó, ta có:
- \(\Delta BAC\) và \(\Delta BDC\) có 2 cạnh và 1 góc kẹp nhau bằng nhau (góc vuông) nên:
\[
\Delta BAC \cong \Delta BDC
\]

2. **Chứng minh \(\Delta BDC\) vuông**:
- Từ điều trên, vì \(\Delta BAC \cong \Delta BDC\) nên \(\angle ABC = \angle BDC\).
- Do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) và \(A\) là giao điểm của các đường cao, ta có \(AB\) vuông góc với \(AC\).
- Suy ra, \(\Delta BDC\) cũng vuông tại \(D\) (vì cả hai tam giác chia sẻ cùng một góc vuông).

### b. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm O và bán kính R của đường tròn đó:

1. **Chứng minh bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn**:
- Ta có: \(\angle BAC = \angle BDC\) và \(\angle ABC = \angle ADC\) (do tính chất đường tròn và tứ giác nội tiếp).
- Từ đó, theo định lý về tứ giác nội tiếp: Nếu trong một tứ giác có một cặp góc đối diện bằng nhau thì bốn điểm đó nằm trên cùng một đường tròn.
- Suy ra bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn.

2. **Xác định tâm O và bán kính R**:
- Tâm O của đường tròn sẽ là giao điểm của đường tròn của 2 đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\).
- Bán kính R của đường tròn có thể tính bằng khoảng cách từ tâm O đến một trong bốn điểm \(A, B, C, D\).

### c. Tính bán kính R khi biết \(HC = 16cm\) và \(AC = 20cm\):

- Gọi \(AH\) là đường cao từ A đến \(BC\). Theo định lý Pytago trong tam giác vuông \(AHC\):
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]
\[
20^2 = AH^2 + 16^2
\]
\[
400 = AH^2 + 256
\]
\[
AH^2 = 400 - 256 = 144
\]
\[
AH = \sqrt{144} = 12 cm
\]

- Bán kính của đường tròn \(R\) sẽ là cạnh huyền trong tam giác vuông \(AHC\):
- Nên:
\[
R = AC = 20 cm
\]
Hoặc, theo công thức đường tròn ngoại tiếp, ta có thể tính:
\[
R = \frac{ABC}{4K}
\]
(Sử dụng thêm quy tắc về các cạnh và diện tích tam giác).

Tóm lại:
- Bán kính \(R\) sẽ là \(R = 20 cm\).