Cho hình chữ nhật MNKQ có góc MKN=60°. Chứng minh rằng: 4 điểm M, N, K, Q thuộc một đường tròn

Để chứng minh bốn điểm M, N, K, Q thuộc một đường tròn, chúng ta sẽ chứng minh rằng góc MBK (góc tại điểm M khi K và N là hai điểm tại đường tròn) bằng góc 90 độ.

### a. Chứng minh các điểm M, N, K, Q thuộc một đường tròn

1. **Tính chất của hình chữ nhật**: Trong hình chữ nhật MNKQ, hai cạnh đối diện là bằng nhau và vuông góc với nhau, nghĩa là MN = KQ, MK = NQ và MN ⊥ MK, NQ ⊥ KQ.

2. **Tính chất về góc**: Chúng ta đã biết góc \( MKN = 60^\circ \). Theo các tính chất của hình học, ta có:
\[
\angle MKN + \angle QKN = 180^\circ
\]
. Do đó, \( \angle QKN = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

3. **Góc tại trung điểm**: Hãy xem xét đoạn thẳng MN và KQ. Nếu vẽ trung điểm O của đoạn thẳng MQ, ta thấy rằng:
\[
\angle MOK + \angle NOK = 180^\circ
\]
và \( \angle MKN + \angle NQK = 180^\circ \), chứng tỏ rằng góc MKN cũng liên quan đến NQK theo đúng cách tính chất của các góc ở ngoài và trong cùng một tam giác.

4. **Nhận xét**: Từ những lập luận trên, chúng ta thấy các điểm M, N, K, Q thuộc một đường tròn với tâm tức là giao điểm đường chéo MQ và NK.

### Xác định tâm đường tròn

Tâm đường tròn sẽ nằm tại giao điểm của đường chéo MQ và NK.

### b. Tính bán kính đường tròn

Để tính bán kính đường tròn, chúng ta sử dụng công thức bán kính R của đường tròn nội tiếp một tam giác. Đường nửa đường kính (R) sẽ bằng khoảng cách từ tâm O đến một trong bốn điểm. Dựa theo lý thuyết về tam giác đối xứng vì góc 60º,
\[
R = \frac{MQ}{2 \sin\left(\frac{\angle MKN}{2}\right)} = \frac{20}{2 \sin(30^\circ)} = \frac{20}{2 \cdot 0.5} = 20 \text{ cm}
\]

Do đó, bán kính của đường tròn qua bốn điểm M, N, K, Q sẽ là 20 cm.

### Kết luận

1. Bốn điểm M, N, K, Q thuộc một đường tròn.
2. Tâm đường tròn nằm tại giao điểm đường chéo MQ và NK.
3. Bán kính đường tròn bằng 20 cm.