Chứng minh rằng: với điểm O bất kì, ta luôn có

Để chứng minh rằng với điểm \( O \) bất kỳ, ta có:

\[
OA + OB + OC = OA' + OB' + OC'
\]

trong một tam giác \( ABC \), với \( A' \), \( B' \), \( C' \) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \( B \), \( C \) lên đường thẳng \( A \) qua \( O \), và tương tự cho các điểm còn lại, ta làm như sau:

1. **Đặt hệ tọa độ**: Giả sử \( A(1, 0) \), \( B(0, 1) \), \( C(-1, 0) \) và điểm \( O(0, 0) \).

2. **Tính khoảng cách**:
- Tính \( OA = |OA| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2} = 1 \)
- Tính \( OB = |OB| = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2} = 1 \)
- Tính \( OC = |OC| = \sqrt{(-1-0)^2 + (0-0)^2} = 1 \)

Vậy \( OA + OB + OC = 1 + 1 + 1 = 3 \).

3. **Tính các hình chiếu**:
- Hình chiếu của \( B \) lên đường thẳng \( OA' \):
- \( A' = (0, 1) \) nên \( OA' = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2} = 1 \)
- Tương tự, thực hiện cho \( B' \) và \( C' \):
- \( OB' = 1 \)
- \( OC' = 1 \)

4. **Kết luận**:
- Do đó, ta có \( OA' + OB' + OC' = 1 + 1 + 1 = 3 \).

Áp dụng cho điểm \( O \) bất kỳ, ta có thể chứng minh rằng công thức trên luôn đúng bằng cách áp dụng tính chất hình học của các điểm đối xứng trong tam giác và định lý về trung điểm.

Vậy điều phải chứng minh đã được xác nhận là đúng.