Để chứng minh \(BDCH\) là hình bình hành, ta tiến hành theo các bước sau:

1. **Xác định các điểm trong tam giác**:
- Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
- Điểm \(D\) là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(B\) và vuông góc với \(AC\) tại \(C\).

2. **Xét các góc và tính chất tứ giác**:
- Do \(BD\) vuông góc với \(AB\), ta có \(\angle ABD = 90^\circ\).
- Tương tự, do \(CD\) vuông góc với \(AC\), ta cũng có \(\angle ACD = 90^\circ\).

3. **Chứng minh \(BD \parallel CH\) và \(BC \parallel DH\)**:
- Xét tam giác \(ABC\) với đường thẳng \(BC\) có tính chất:
- \(H\) là trực tâm nên \(H\) nằm trên đường cao từ \(A\) hạ xuống \(BC\).
- Do đó, \(\angle AHB = 90^\circ\) và \(\angle AHC = 90^\circ\).
- Từ đó, ta dễ thấy rằng cả \(BD\) và \(CH\) đều vuông góc với \(AB\) (vì \(H\) nằm trên đường cao từ \(A\)).
- Do đó, \(BD \parallel CH\).

4. **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau**:
- Xét hai đoạn thẳng \(BD\) và \(CH\):
- Vì \(H\) là trực tâm của tam giác, ta có \(BH = HC\) (các đoạn thẳng từ \(H\) đến \(B\) và \(C\) là các chiều cao từ hai đỉnh của tam giác).
- Xét tiếp đoạn thẳng \(BC\) và \(DH\):
- Trong tam giác \(ABC\), đường cao từ \(A\) hạ xuống \(BC\) tạo thành các đoạn thẳng vuông góc. Do đó \(DH \perp BC\).

5. **Kết luận**:
- Với hai cặp cạnh đối diện: \(BD \parallel CH\) và \(BC \parallel DH\), đồng thời \(BD = CH\) và \(BC = DH\), ta có thể kết luận rằng tứ giác \(BDCH\) là hình bình hành.

Vậy ta đã chứng minh rằng \(BDCH\) là hình bình hành.