Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng hình học. Gọi:

- \( R \) là bán kính của chiếc gương (hình tròn).
- \( AB \) là đoạn thẳng kéo dài từ các điểm tiếp xúc của dây treo tới gương (đoạn này sẽ là 2R khi gương là hình tròn).
- \( d_1 \) và \( d_2 \) là chiều dài của hai dây treo, với \( d_1 + d_2 = 6 \) dm.
- Giả sử gốc của dây treo là điểm O, góc giữa hai dây là 60 độ.

### Cách giải:

1. **Chia đoạn dây treo theo chiều dài**:
Gọi \( d_1 = a \) và \( d_2 = 6 - a \).

2. **Sử dụng định lý Cosin**:
Theo định lý cosin cho tam giác \( OAB \):
\[
AB^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2 \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \cos(60^\circ)
\]
Thay vào:
\[
R^2 = a^2 + (6 - a)^2 - a \cdot (6 - a)
\]
Với \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \).

3. **Giải phương trình**:
Thay \( R \) vào công thức, tính và tìm ra giá trị của \( R \).

4. **Làm tròn kết quả**:
Tính giá trị bán kính \( R \) và làm tròn đến hàng phần mười.

Dùng phương trình và thực hiện các bước tính toán, cuối cùng bạn sẽ tìm được giá trị của bán kính \( R \).

Nếu bạn cần chi tiết hơn về từng bước tính toán, hãy cho mình biết!