Giải bài toán này theo các yêu cầu đã cho như sau:

### a) Chứng minh \( BE = DF \) và \( \angle ABE = \angle CDF \):

1. **Chứng minh \( BE = DF \)**:
- E là trung điểm của AD, tức là \( AE = ED \).
- F là trung điểm của BC, tức là \( BF = FC \).
- Từ tam giác BAE và CDF có các cạnh tương ứng bằng nhau (AE = ED và BF = FC) và có chung cạnh BE = DF.
- Do đó, suy ra \( BE = DF \) khi áp dụng tính chất của tam giác vuông và định lý Pitago.

2. **Chứng minh \( \angle ABE = \angle CDF \)**:
- Do BE vuông góc với AB và DF vuông góc với AC, ta có \( \angle ABE = 90^\circ \) và \( \angle CDF = 90^\circ \).
- Vì vậy, \( \angle ABE = \angle CDF \).

### b) Chứng minh \( BE \parallel FD \):

- Từ các chứng minh ở trên:
- Ta có các cặp góc đối đỉnh \( \angle ABE \) và \( \angle CDF\) đều bằng \(90^\circ\).
- Do đó, hai đường thẳng \(BE\) và \(FD\) vuông góc với các đường thẳng còn lại của tam giác, tạo thành sự song song theo định lý về các đường thẳng vuông góc.

Từ đó, ta có kết luận là \( BE \parallel FD \).

Hy vọng rằng cách trình bày này giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!