Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần (a, b, c và d) như đã nêu.

### a) Chứng minh OA là trung trực của đoạn BC

Khi vẽ hai tiếp tuyến AB và AC từ điểm A đến đường tròn (O) tại các điểm B và C, ta có một số tính chất của tiếp tuyến. Cụ thể, từ định lý về tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn, ta biết rằng:

1. BA = BC (vì AB là tiếp tuyến tại B)
2. CA = CB (vì AC là tiếp tuyến tại C)

Điều này có nghĩa rằng AB = AC vì AB = AC = AO. Vậy, AO vươn ra ngoài đường tròn và tạo thành giác cạnh của tam giác ABC tại điểm M, và do đó, OA là trung trực của đoạn BC.

### b) Tính BM biết OM = 2cm và AM = 8cm

Vì M là điểm phân chia đoạn OA theo tỉ lệ cố định, ta có thể sử dụng định lý phân đoạn:

\[
AM = OM + BM \implies BM = AM - OM = 8 - 2 = 6cm
\]

### c) Chứng minh OM.OA = OG.OH

1. **Điểm G là trung điểm EF**: Khi đường kính BE và AE cắt (O) tại F và E, G là điểm chính giữa EF. Theo định lý đường kính, EF là đường đi qua tâm O, do đó OA và OG sẽ hợp thành một tứ giác nối tiếp.

2. **Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác OGC**: Từ các điểm trên đoạn BC, có thể dùng định lý Menelaus để phân tích.

Bằng cách chọn từng tỉ lệ, và sử dụng các đoạn đã biết được (AM, OM và BM), ta có thể chứng minh rằng các đoạn OM, OA tương ứng với OG và OH theo thứ tự độc lập với nhau:

\[
OM.OA = OG.OH
\]

3. **Áp dụng định lý tỷ lệ**: Vì đều cùng nằm trên đường thẳng và các đoạn thẳng đều là tỉ lệ tương ứng cho nhau theo tỷ lệ trong tam giác OMC, ta có thể dễ dàng tìm ra tỷ lệ này.

### d) Chứng minh EH là tiếp tuyến của (O)

Để chứng minh rằng EH là tiếp tuyến của (O), sử dụng tính chất tối đa và hình học của các tiếp tuyến. Ta có:

1. Nếu đó là tiếp tuyến tại một điểm E, thỏa mãn rằng độ dài đoạn thẳng từ O đến E (và đánh giá góc lệnh tại điểm tiếp xúc) đều là vuông góc.
2. Tại điểm E, nếu H là điểm tiếp cận nhất từ O đến đường thẳng, thì EH sẽ vuông góc với bán kính OE, vì đó là tính chất của tiếp tuyến với đường tròn.

Do đó, có thể khẳng định rằng đường thẳng EH là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hy vọng các phần giải trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!