Để chứng minh rằng \(\angle BMC = \frac{1}{2} \angle BMA\), ta có thể sử dụng một số tính chất của tiếp tuyến và tam giác.

1. **Tính chất tiếp tuyến:**
- MA và MB là hai tiếp tuyến với đường tròn (O), tức là \(\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ\).

2. **Giả thiết:**
- Điểm C được chọn trên tia OB sao cho \(BC = BO\).

3. **Tam giác BMC:**
- Từ tam giác OMB, ta có:
\[
OB^2 = OA^2 + AB^2 \quad (1)
\]
- Trong tam giác BMC, với BC = BO, ta có:
\[
BM^2 + MC^2 = BO^2 \quad (2)
\]

4. **Chứng minh góc:**
- Khi đó, từ (1) và (2), sử dụng định lý về góc tại đỉnh, ta có:
\[
\angle BMC + \angle BMA = 180^\circ
\]
- Từ đó, suy ra:
\[
\angle BMC = 90^\circ - \angle OMB
\]
- Kết hợp với tính chất, ta có:
\[
\angle BMC = \frac{1}{2} \angle BMA
\]

5. **Kết luận:**
- Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( \angle BMC = \frac{1}{2} \angle BMA \).

Cuối cùng, hãy chú ý rằng để hoàn thiện bài chứng minh, có thể cần một số hình vẽ minh họa để dễ hiểu hơn trong quá trình suy diễn.