Chúng ta sẽ tìm các đa thức \( Q \) và \( R \) sao cho thoả mãn các điều kiện đã cho.

### a) Tìm \( Q \)

Đầu tiên, ta có:

\[
P + Q = x^5 - 2xy^2 + x + 1
\]

Ta viết lại \( Q \):

\[
Q = (x^5 - 2xy^2 + x + 1) - P
\]

Tiếp theo, thay \( P = x^3 y - 3xy^2 + \frac{1}{2} - x \):

\[
Q = (x^5 - 2xy^2 + x + 1) - (x^3 y - 3xy^2 + \frac{1}{2} - x)
\]
\[
= x^5 - 2xy^2 + x + 1 - x^3 y + 3xy^2 - \frac{1}{2} + x
\]
\[
= x^5 - x^3 y + (3xy^2 - 2xy^2) + (x + x - \frac{1}{2}) + 1
\]
\[
= x^5 - x^3 y + xy^2 + 2x + \frac{1}{2}
\]

Vậy \( Q = x^5 - x^3 y + xy^2 + 2x + \frac{1}{2} \).

### b) Tìm \( R \)

Ta có:

\[
P - R = x^3 y + x^3 - y^2
\]

Ta viết lại \( R \):

\[
R = P - (x^3 y + x^3 - y^2)
\]

Thay \( P \) vào:

\[
R = (x^3 y - 3xy^2 + \frac{1}{2} - x) - (x^3 y + x^3 - y^2)
\]
\[
= x^3 y - 3xy^2 + \frac{1}{2} - x - x^3 y - x^3 + y^2
\]
\[
= -3xy^2 + y^2 - x - x^3 + \frac{1}{2}
\]
\[
= -3xy^2 + y^2 - x - x^3 + \frac{1}{2}
\]

Vậy \( R = -3xy^2 + y^2 - x - x^3 + \frac{1}{2} \).

### Tổng kết:

- \( Q = x^5 - x^3 y + xy^2 + 2x + \frac{1}{2} \)
- \( R = -3xy^2 + y^2 - x - x^3 + \frac{1}{2} \)