Tính giá trị biểu thức M

Để tính giá trị của biểu thức \( M = 2\sin\alpha - \frac{1}{\tan\alpha} \) với điều kiện \( \frac{\pi}{2} < \alpha < 0 \) và \( \cos\alpha = -\frac{1}{3} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính giá trị của \( \sin\alpha \)**:
Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
\]
Thay giá trị của \( \cos\alpha \):
\[
\sin^2\alpha + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \\
\sin^2\alpha + \frac{1}{9} = 1 \\
\sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \\
\sin\alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}
\]
(Chọn dấu âm vì \( \alpha \) nằm trong khoảng \( \frac{\pi}{2} < \alpha < 0 \)).

2. **Tính \( \tan\alpha \)**:
\[
\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}
\]

3. **Thay các giá trị vào biểu thức \( M \)**:
\[
M = 2\sin\alpha - \frac{1}{\tan\alpha} \\
= 2\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) - \frac{1}{2\sqrt{2}} \\
= -\frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2\sqrt{2}}
\]

Để tính toán \( M \), ta cần quy đồng mẫu:
\[
\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}
\]
Do đó,
\[
M = -\frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{4}
\]
Quy đồng mẫu số là 12:
\[
M = -\frac{16\sqrt{2}}{12} - \frac{3\sqrt{2}}{12} = -\frac{19\sqrt{2}}{12}
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là:
\[
\boxed{-\frac{19\sqrt{2}}{12}}
\]