Để tìm số tự nhiên \( a \) lớn nhất sao cho \( 13, 15, 61 \) chia cho \( a \) đều dư \( 1 \), ta có thể viết lại điều kiện này dưới dạng:

\[
13 \equiv 1 \mod a \\
15 \equiv 1 \mod a \\
61 \equiv 1 \mod a
\]

Điều này có thể viết lại thành:

\[
12 \equiv 0 \mod a \\
14 \equiv 0 \mod a \\
60 \equiv 0 \mod a
\]

Từ đó, \( a \) phải là ước số chung của \( 12, 14, 60 \).

**Tìm ước số chung lớn nhất (USCLN) của các số này:**

- Phân tích ra các thừa số nguyên tố:
- \( 12 = 2^2 \times 3 \)
- \( 14 = 2 \times 7 \)
- \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

**Lấy ước số chung lớn nhất:**

- Tìm các thừa số chung:
- Số \( 2 \): nhỏ nhất của \( 12, 14, 60 \) là \( 2^1 \).
- \( 3 \) và \( 7 \), \( 5 \) không có ước chung.

Vậy:

\[
\text{USCLN}(12, 14, 60) = 2^1 = 2
\]

Vì \( a \) là số tự nhiên lớn nhất trong các ước số chung của \( 12, 14, 60 \), nên \( a = 2 \).

Kết quả là \( a = 2 \).