Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a tâm O, SO vuông góc với mặt phẳng ABCD, góc giữa SA và mặt phẳng ABCD bằng 30 độ. Tính góc giữa SA và mặt phẳng SCD

Để tính góc giữa đoạn thẳng \( SA \) và mặt phẳng \( SCD \) trong hình chóp \( S.ABCD \), trước tiên, chúng ta cần xác định vị trí các điểm và hướng của các vector liên quan.

1. **Xác định các điểm trong không gian:**
- Chọn mặt phẳng chứa đáy \( ABCD \) nằm trên mặt phẳng \( z = 0 \).
- Diện tích đáy là hình vuông với các đỉnh:
- \( A = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( B = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( C = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( D = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \)
- Điểm \( O \) là tâm của hình vuông: \( O = (0, 0, 0) \).
- Điểm \( S \) nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \( ABCD \) và là đỉnh của hình chóp. Nếu chiều cao \( SO = h \), thì tọa độ của \( S \) là \( S = (0, 0, h) \).

2. **Xác định vector \( \overrightarrow{SA} \):**
- Tọa độ vector \( \overrightarrow{SA} = A - S = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) - (0, 0, h) = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -h\right) \).

3. **Xác định hướng của mặt phẳng \( SCD \):**
- Chúng ta sử dụng hai vector trong mặt phẳng \( SCD \):
a. \( \overrightarrow{SC} = C - S = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) - (0, 0, h) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -h\right) \).
b. \( \overrightarrow{SD} = D - S = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) - (0, 0, h) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -h\right) \).

4. **Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng \( SCD \):**
- Pháp tuyến của mặt phẳng \( SCD \) được tính bằng tích có hướng giữa \( \overrightarrow{SC} \) và \( \overrightarrow{SD} \):
\[
\overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SD} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\frac{a}{2} & \frac{a}{2} & -h \\
-\frac{a}{2} & \frac{a}{2} & -h
\end{vmatrix}
= \hat{i} \left( \frac{a}{2} \cdot (-h) - \frac{a}{2} \cdot (-h) \right) - \hat{j} \left( \frac{a}{2} \cdot (-h) - (-\frac{a}{2}) \cdot (-h) \right) + \hat{k} \left( \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} - (-\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}) \right)
\]
\[
= \hat{i}(0) - \hat{j}(-h)(\frac{a}{2} + \frac{a}{2}) + \hat{k}\left(\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}\right)
= \hat{j}ha - \hat{k}\frac{a^2}{2}
\]
Vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng \( SCD \) là \( \vec{n} = (0, ha, -\frac{a^2}{2}) \).

5. **Tính góc giữa vector \( SA \) và mặt phẳng \( SCD \):**
- Sử dụng công thức tính góc giữa một vector và mặt phẳng:
\[
\sin \theta = \frac{|\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SA}| |\overrightarrow{n}|}
\]
Trong đó:
- Tính \( |\overrightarrow{SA}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + (-h)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + h^2} \).
- Tính \( |\overrightarrow{n}| = \sqrt{0^2 + (ha)^2 + \left(-\frac{a^2}{2}\right)^2} = \sqrt{(ha)^2 + \frac{a^4}{4}} \).

6. **Tính \( \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{n} \):**
\[
\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{n} = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -h\right) \cdot (0, ha, -\frac{a^2}{2}) = 0 - \frac{a}{2}hah + \frac{a^2h}{2} = -\frac{a}{2}ha + \frac{a^2h}{2} = h(-\frac{a}{2}a + \frac{a^2}{2}) = 0
\]

Vì \( |\overrightarrow{SA}| \) và \( |\overrightarrow{n}| \) không bằng 0, do đó:
Khi \( \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \), nghĩa là vector \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( SCD \).

Do đó, góc giữa \( SA \) và mặt phẳng \( SCD \) sẽ là \( 90^\circ \).