Để giải bài toán này, chúng ta cần tính giá trị của tổng \(1 + 2 + 3 + ... + 10\) và sau đó đưa vào biểu thức.

Tổng của các số tự nhiên từ 1 đến 10 được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{n(n+1)}{2}
\]
Với \(n = 10\):
\[
S = \frac{10 \times 11}{2} = 55
\]

Vậy biểu thức trở thành:
\[
\frac{55}{-11}
\]
Tính giá trị này, ta có:
\[
\frac{55}{-11} = -5
\]

Bây giờ, ta cần giải bất phương trình:
\[
-5 < \frac{x}{3} < \frac{4}{3}
\]

Chia hai phần của bất phương trình cho 3:
1. Từ \( -5 < \frac{x}{3} \):
\[
-5 \times 3 < x \implies x > -15
\]

2. Từ \( \frac{x}{3} < \frac{4}{3} \):
\[
x < 4
\]

Kết hợp lại, ta có:
\[
-15 < x < 4
\]

Vì \(x\) là số nguyên, các giá trị nguyên thỏa mãn là từ \(-14\) đến \(3\).

Số các số nguyên trong khoảng này là:
\(-14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\).

Đếm số các giá trị:
- Từ \(-14\) đến \(-1\) có 14 số.
- Thêm \(0, 1, 2, 3\) có thêm 4 số.

Tổng cộng là \(14 + 4 = 18\).

Vậy nên, số nguyên \(x\) thỏa mãn là **18**.

Điền số vào ô trống là: **18**.