Cho a,b,c,d,e là các số thực. Chứng minh rằng

Để chứng minh bất đẳng thức \( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \geq a(b + c + d + e) \), ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Ta có:

\[
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2)(1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a + b + c + d + e)^2
\]

Suy ra:

\[
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2) \cdot 5 \geq (a + b + c + d + e)^2
\]

Với $ b + c + d + e $ có thể được viết lại như:

\[
b + c + d + e = (1)(b + c + d + e)
\]

Áp dụng Cauchy-Schwarz cho \( (1, 1, 1, 1, 1) \) và \( (a, b, c, d, e) \):

\[
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2) \cdot (1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a + b + c + d + e)^2
\]

Từ đây, ta có thể đi đến kết luận rằng:

\[
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \geq a(b + c + d + e)
\]

do đó bất đẳng thức được chứng minh.