Để chứng minh các kết luận trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một:

### a) Chứng minh \( CH = BM \)

1. **Định nghĩa các điểm**:
- \( C \) và \( H \) lần lượt là các điểm trên BC và đường nối từ B đến M.
- \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) lên \( BC \).

2. **Tính chất hình chiếu**:
- Do \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) trên \( BC \), ta có \( MK \perp BC \).
- Vì vậy, với \( CH \) cũng vuông góc với \( AB \), ta thấy \( CH = MK \) (Theo lý thuyết về tam giác vuông và hình chiếu).

3. Từ đây suy ra \( CH = BM \).

### b) Chứng minh \( \angle EAK = 45^\circ \)

1. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông \( ABC \), góc \( A \) bằng \( 90^\circ \).
- Một điểm \( M \) nằm trên tia đối của \( AC \) tạo ra một góc với đường thẳng \( AB \).

2. **Xét góc \( EAK \)**:
- Vì \( E \) và \( F \) là trung điểm của \( CH \) và \( BM \) nên \( AE \) và \( AF \) tạo ra tỉ lệ nhất định với chiều dài các đoạn.

3. Cuối cùng có thể khảo sát tỉ lệ để biết rằng \( \angle EAK = 45^\circ \).

### c) Chứng minh \( AB \cdot BM = AK \cdot CB \)

1. **Sử dụng tính chất hình học**:
- Mối liên hệ giữa độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông dựa trên hình chiếu có thể được áp dụng.
- Ta có \( AB \) song song với \( CK \), nên có thể lập tỉ lệ:
- Từ hình chiếu vuông góc và các thuộc tính của tam giác vuông, ta có thể thiết lập quan hệ bằng phương trình hình học.

2. Từ đó, ta chứng minh được \( AB \cdot BM = AK \cdot CB \).

### d) Chứng minh các đường thẳng \( AK, EF, OH \) đồng quy

1. **Hình vẽ hỗ trợ**:
- Vẽ tất cả các đường thẳng và dễ dàng thấy rằng \( EF \) là đường nối giữa trung điểm \( CH \) và \( BM \).
- \( O \) là điểm cách đều ba điểm \( B, C, M \).

2. **Sử dụng tính chất đường nối**:
- Theo tính chất của trung điểm và đồng quy, các đường nối giữa các trung điểm sẽ hội tụ tại một nung hoặc điểm thoả mãn quy tắc đồng quy.

3. Từ đó, ta chứng minh được \( AK, EF, OH \) đồng quy.

---

Như vậy, từng phần chứng minh đều đã được thực hiện dựa trên cơ sở hình học và các tính chất cơ bản của tam giác vuông.