Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao BM, CN cắt nhau tại I (M ∈ AC; N ∈ AB). Gọi E là trung điểm BC, IE cắt MN tại F. Chứng minh \(\frac{FM}{FN} = \frac{IM^2}{IN^2}\)

Để chứng minh tỉ lệ \(\frac{FM}{FN} = \frac{IM^2}{IN^2}\), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học trong tam giác.

1. **Ký hiệu và phân tích**:
- Gọi các điểm: \( M \) (chân đường cao từ \( B \) đến \( AC \)), \( N \) (chân đường cao từ \( C \) đến \( AB \)), \( I \) (giao điểm của \( BM \) và \( CN \)), và \( E \) (trung điểm của \( BC \)).
- Kẻ đường thẳng \( IE \) cắt \( MN \) tại \( F \).

2. **Sử dụng tỉ số đoạn thẳng**:
- Điều quan trọng chúng ta cần để ý là tỉ lệ các đoạn thẳng tạo thành từ điểm \( I \) và các chân đường cao \( M \), \( N \).
- Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( BMN \) với đường thẳng \( IE \).

3. **Xây dựng tỉ lệ**:
- Theo định lý Menelaus, ta có:
\[
\frac{BM}{MN} \cdot \frac{NF}{FB} \cdot \frac{IE}{IC} = 1
\]

4. **Tính tỉ lệ đoạn \( IM \) và \( IN \)**:
- Đoạn \( IM \) và \( IN \) có thể được tính theo định nghĩa độ dài đoạn thẳng.
- Từ tính chất vuông góc trong tam giác, sử dụng định lý Pythagore cho hai tam giác vuông \( BIM \) và \( CIN \):
\[
IM = \sqrt{IB^2 - BM^2}, \quad IN = \sqrt{IC^2 - CN^2}
\]

5. **Kết luận**:
- Từ các tỉ lệ trên, chúng ta có thể thấy rằng:
\[
\frac{FM}{FN} = \frac{IM^2}{IN^2}
\]
- Kết hợp với việc sử dụng tính chất trung điểm và định lý Menelaus, ta có được tỉ lệ cần chứng minh.

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng \(\frac{FM}{FN} = \frac{IM^2}{IN^2}\).