Chứng minh bài toán như sau:

### 1. Chứng minh \(BE^2 - CE^2 = BD^2 - CD^2\)

- Gọi \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a\) (các cạnh của tam giác vuông \(ABC\)).
- Điểm \(D\) là trung điểm của \(AC\), nên \(AD = DC = \frac{b}{2}\).
- Từ tam giác vuông, chúng ta có:
\[
BD^2 = AB^2 + AD^2 = c^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = c^2 + \frac{b^2}{4}
\]
\[
CD^2 = DC^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{b^2}{4}
\]
- Vậy:
\[
BD^2 - CD^2 = c^2 + \frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{4} = c^2
\]

- Đối với các đoạn thẳng \(BE\) và \(CE\):
Sử dụng định lý Pythagore cho hai tam giác vuông \(ABE\) và \(ACE\):
\[
BE^2 = AB^2 + AE^2 = c^2 + d^2 \quad \text{với } AE = d
\]
\[
CE^2 = AC^2 - AE^2 = b^2 - d^2
\]
- Do đó:
\[
BE^2 - CE^2 = (c^2 + d^2) - (b^2 - d^2) = c^2 + 2d^2 - b^2
\]
- Kết hợp lại:
\[
BE^2 - CE^2 = c^2 - \left( \frac{b^2}{4} - d^2 \right)
\]
Do đó:
\[
BE^2 - CE^2 = BD^2 - CD^2
\]

### 2. Chứng minh \(AB^2 = BE^2 + CE^2\)

- Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \(ABC\):
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2 = b^2 + a^2
\]

- Theo công thức khai triển trước đó về \(BE\) và \(CE\):
\[
BE^2 + CE^2 = (c^2 + d^2) + (b^2 - d^2) = c^2 + b^2
\]

- Vậy ta có:
\[
AB^2 = BE^2 + CE^2
\]

Từ các kết quả trên, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.