Cho tam giác ABC vuông cân tại A và cạnh huyền BC có D là điểm tùy chọn trên BC. Gọi AB = AC = a.

Tại H, DH vuông góc với AB và tại K, DK vuông góc với AC. Ta muốn tìm giá trị lớn nhất của tích \( DH \cdot DK \).

Đầu tiên, chúng ta có thể xác định chiều dài của DH và DK bằng cách sử dụng các hình chiếu. Gọi \( BH = x \) và \( CK = y \). Khi đó, từ định nghĩa của các chiều dài, chúng ta có:

\[
DH = AH \cdot \sin(45^\circ) = AH \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

\[
DK = AK \cdot \sin(45^\circ) = AK \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Bởi vì \( A \) là đỉnh của tam giác vuông cân thì ta biết rằng \( AB = AC = a \) và từ đó \( BC = a\sqrt{2} \). Hơn nữa, ta có:

\[
BC = BD + DC = BH + CK = (a - x) + (a - y)
\]

Vì vậy, tổng chiều dài \( DH \cdot DK \) có thể được thể hiện một cách khác:

\[
DH \cdot DK = AH \cdot DK \cdot \sin(45^\circ) \cdot DK \cdot \sin(45^\circ) = \frac{AH \cdot AK \cdot a^2}{2}
\]

Để tìm giá trị lớn nhất của tích \( DH \cdot DK \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tính đơn giản về cực trị. Lúc đó, thông qua định lý hình học hoặc phương trình động, chúng ta có thể rút ra rằng:

- Đặt \( DH = x \).
- \( DK = a\sqrt{2} - x \).

Tối ưu hóa tích \( DH \cdot DK \):

\[
f(x) = x(a\sqrt{2} - x) = ax\sqrt{2} - x^2
\]

Để tìm cực trị, chúng ta lấy đạo hàm và đặt bằng 0:

\[
f'(x) = a\sqrt{2} - 2x = 0 \implies x = \frac{a\sqrt{2}}{2}
\]

Thay vào hàm số để tìm giá trị lớn nhất của \( DH \cdot DK \):

\[
DH \cdot DK = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)\left(a\sqrt{2} - \frac{a\sqrt{2}}{2}\right)
\]

\[
= \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2}{4} \cdot 2 = \frac{a^2}{2}
\]

Vậy giá trị lớn nhất của tích \( DH \cdot DK \) theo a là:

\[
\max (DH \cdot DK) = \frac{a^2}{2}.
\]