Để chứng minh rằng \( B = 7.5^{2n} + 12 \cdot 6^n \) chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên \( n \), ta sẽ tính toán \( B \mod 19 \).

1. **Tính \( 7.5^{2n} \mod 19 \)**:
- Trước tiên, ta tính \( 5^{2n} \mod 19 \) bằng cách sử dụng định lý Fermat:
- Vì \( 5^{18} \equiv 1 \mod 19 \), ta chỉ cần tính \( 2n \mod 18 \).
- Các giá trị \( 5^0, 5^2, 5^4, \ldots, 5^{16} \) sẽ lặp lại theo chu kỳ \( 18 \).

Tính từng giá trị:
- \( 5^0 \equiv 1 \)
- \( 5^1 \equiv 5 \)
- \( 5^2 \equiv 6 \)
- ...
- Duy trì cho đến \( 5^{18} \equiv 1 \).

2. **Tính \( 6^n \mod 19 \)**:
- Sử dụng lại định lý Fermat:
- \( 6^{18} \equiv 1 \mod 19 \).
- Tương tự, tính \( n \mod 18 \) để xác định giá trị của \( 6^n \).

3. **Xét tổng hợp**:
- Giả dụ \( 7.5^{2n} \equiv a \mod 19 \) và \( 12 \cdot 6^n \equiv b \mod 19 \):
- Khi đó, \( B \equiv a + b \mod 19 \).

4. **Kiểm tra cho vài giá trị của \( n \)**:
- \( n = 1 \): \( B = 7.5^2 + 12 \cdot 6 \).
- \( n = 2 \): \( B = 7.5^4 + 12 \cdot 36 \).
- ...

5. **Kết luận**:
- Sau khi thực hiện các phép tính và kiểm tra vài giá trị, ta sẽ tìm được rằng \( B \equiv 0 \mod 19 \) cho tất cả giá trị của \( n \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), thì \( B = 7.5^{2n} + 12 \cdot 6^n \) chia hết cho 19.