Gọi số xe lúc đầu của đội xe là \( x \). Khi đó, mỗi xe sẽ chở \( \frac{60}{x} \) tấn hàng.

Sau đó, do có 2 xe phải đi nhận hợp đồng khác, số xe còn lại là \( x - 2 \) xe. Do đó, mỗi xe còn lại sẽ chở \( \frac{60}{x - 2} \) tấn hàng.

Theo đề bài, mỗi xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng, nên ta có phương trình sau:

\[
\frac{60}{x - 2} = \frac{60}{x} + 1
\]

Bây giờ chúng ta giải phương trình này. Đầu tiên, nhân cả hai bên với \( x(x - 2) \) để loại bỏ mẫu số:

\[
60x = 60(x - 2) + x(x - 2)
\]

Phát triển phương trình:

\[
60x = 60x - 120 + x^2 - 2x
\]

Rút gọn phương trình:

\[
0 = -120 + x^2 - 2x
\]

Hay viết lại:

\[
x^2 - 2x - 120 = 0
\]

Bây giờ, ta giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \( a = 1, b = -2, c = -120 \). Tính quyết định:

\[
b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484
\]

Do đó, căn bậc hai sẽ là:

\[
\sqrt{484} = 22
\]

Thay vào công thức nghiệm:

\[
x = \frac{2 \pm 22}{2}
\]

Ta có hai nghiệm:

\[
x_1 = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-20}{2} = -10
\]

Vì số xe không thể âm, ta chọn nghiệm hợp lý:

\[
x = 12
\]

Vậy số xe lúc đầu mà đội điều động là \( \boxed{12} \).