Cho tam giác ABC vuông tại B (BA

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác ABK = tam giác AiK

**Giả thiết:** \( ABC \) là tam giác vuông tại \( B \) với \( BA < BC \). Điểm \( i \) nằm trên cạnh \( AC \) sao cho \( AB = Ai \). Đường thẳng qua điểm \( i \) vuông góc với \( AC \) cắt \( BC \) tại \( K \).

**Chứng minh:**

1. **Tam giác vuông:**
- \( \angle ABK = \angle AiK = 90^\circ \) (do đoạn thẳng \( iK \) vuông góc với \( AC \))

2. **Độ dài:**
- \( AB = Ai \) theo giả thiết.
- \( BK = iK \) (đoạn thẳng vuông góc từ điểm \( i \) xuống đường thẳng \( BC \)).

3. **Hai tam giác có hai cặp cạnh và một góc chung:**
- Có \( \angle ABK = \angle AiK \)
- Ta chứng minh được \( AB = Ai \) và \( BK = iK \).

Do đó, từ điều kiện sẽ suy ra rằng:
\[
\triangle ABK \cong \triangle AiK
\]

### b) Kéo dài \( AB \) và \( iK \) cắt nhau tại \( H \), chứng minh tam giác \( AiH = tam giác ABC \)

**Chứng minh:**

1. **Tam giác \( ABC \) vuông tại \( B \):**
- \( \angle ABC = 90^\circ \)

2. **Tính chất hình học:**
- \( AB = Ai \) (giả thiết).
- Kéo dài \( iK \) cắt \( AB \) tại \( H \).

3. **Tương ứng góc:**
- \( \angle ABH = \angle AiH \) vì cả hai đều là góc đối diện tại \( H \).

4. **Cạnh huyền:**
- \( AH = AC \) (bởi vì \( AB = Ai \))
- \( BH = BC \) (do \( B \) là đỉnh vuông của tam giác \( ABC \)).

Do đó, hai tam giác \( AiH \) và \( ABC \) có:
- \( AB = Ai \)
- \( ABH = AiH \) bởi tính chất góc đối diện.

Suy ra:
\[
\triangle AiH \cong \triangle ABC
\]

### c) Vẽ đường thẳng vuông góc \( HC \) tại \( E \). Chứng minh điểm \( A, K, E \) thẳng hàng.

**Chứng minh:**

1. **Tam giác vuông:**
- \( HC \) vuông góc với \( AC \) tại \( E \).

2. **Theo định nghĩa của điểm \( K \):**
- Các điểm \( A, i, C \) đều nằm trên cùng một đường thẳng.
- Từ đó \( H \) và \( E \) phải nằm trên đường thẳng qua điểm \( K \).

3. **Đối xứng:**
- Tương tự như vậy, \( A, E \), và vị trí của các điểm sẽ tạo thành một đường thẳng.

Đến đây ta có thể kết luận rằng điểm \( A, K, E \) thẳng hàng:
\[
A, K, E \text{ thẳng hàng.}
\]

Như vậy, bài toán đã được chứng minh dựa trên các bước lý luận và tính chất hình học cơ bản.