Để chứng minh rằng \( IM = IN = IP \) trong tam giác \( ABC \) với các tia phân giác của góc \( A \) và \( B \) cắt nhau tại \( I \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Định nghĩa góc**:
- Gọi \( \angle AIB = \alpha \) và \( \angle BIC = \beta \).
- Tia phân giác \( AI \) và \( BI \) chia các góc thành hai phần bằng nhau.

2. **Vẽ đường vuông góc**:
- Vẽ các đường vuông góc \( IM \perp AB \), \( IN \perp BC \), \( IP \perp AC \).

3. **Sử dụng Định lý Đường tròn**:
- Điểm \( I \) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \).
- Do đó, các đoạn thẳng \( IM, IN, IP \) là bán kính của đường tròn nội tiếp và đều có chiều dài bằng nhau.

4. **Tính chất của đường phân giác**:
- Các góc tại \( I \) có thể được mô tả bằng các tỉ lệ của các cạnh đối diện trong tam giác \( ABC \).
- Điều này cho phép chúng ta tạo ra các tam giác vuông tương ứng với \( I \) và các điểm \( M, N, P \).

5. **Kết luận**:
- Do cả ba đoạn thẳng \( IM, IN, IP \) đều là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác và có cùng chiều dài, ta có:
\[
IM = IN = IP
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( IM = IN = IP \).