Để chứng minh rằng \( BF = CE \) và \( BE = CF \), ta sẽ sử dụng một số tính chất về tỷ lệ trong tam giác và định lý về tia phân giác.

**Giả thiết:**
Trong tam giác \( ABC \) có \( B = C \), tức là tam giác này là tam giác cân tại \( B \) và \( C \). Giả sử \( AB = AC \).

**Chứng minh:**

1. **Xác định các góc:**
- Gọi \( \angle ABE = \alpha \) và \( \angle ACF = \alpha \) (do \( \angle ABC = \angle ACB \)).
- Từ đó suy ra \( \angle ABE = \angle ACF\).

2. **Sử dụng định lý tia phân giác:**
- Tia phân giác \( BE \) chia góc \( B \) thành hai góc bằng nhau:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}
\]
- Tia phân giác \( CF \) chia góc \( C \) thành hai góc bằng nhau:
\[
\frac{AF}{FB} = \frac{AC}{AB}
\]

3. **Vì \( AB = AC \):**
- \( \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \) và \( \frac{AF}{FB} = \frac{AC}{AB} \), ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = 1 \quad \text{và} \quad \frac{AF}{FB} = 1
\]

4. **Kết luận:**
- Điều này dẫn đến \( AE = EC \) và \( AF = FB \).
- Khi đó, từ tam giác \( ABE \) và \( ACF \), bằng nhau về tương quan tỷ lệ các cạnh và góc, ta có:
\[
BE = CF \quad \text{và} \quad BF = CE
\]

Vậy đã chứng minh được \( BF = CE \) và \( BE = CF \).