Để tính giá trị của \( C \) với \( \tan \alpha = \sqrt{2} \), trước tiên ta tìm giá trị của \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\).

Biết rằng:
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]

Gọi \(\sin \alpha = x\) và \(\cos \alpha = y\). Ta có:
\[
\frac{x}{y} = \sqrt{2} \Rightarrow x = \sqrt{2}y
\]

Và từ định lý Pythagore, ta có:
\[
x^2 + y^2 = 1
\]

Thay \(x\) vào phương trình, ta có:
\[
(\sqrt{2}y)^2 + y^2 = 1
\]
\[
2y^2 + y^2 = 1
\]
\[
3y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Vậy:
\[
x = \sqrt{2}y = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
\]

Biện luận:
\[
\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}, \quad \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}.
\]

Tiếp theo, tính giá trị của \(C\):
\[
C = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin^3 \alpha + 3 \cos^3 \alpha + 2 \sin \alpha}
\]

Tính từng thành phần:
- \(\sin \alpha - \cos \alpha\):
\[
\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - 1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - 1}{\sqrt{3}}
\]

- \(\sin^3 \alpha\):
\[
\sin^3 \alpha = \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right)^3 = \frac{6\sqrt{6}}{27} = \frac{2\sqrt{6}}{9}
\]

- \(3 \cos^3 \alpha\):
\[
3 \cos^3 \alpha = 3 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3 = 3 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

- \(2 \sin \alpha\):
\[
2 \sin \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}
\]

Bây giờ thay vào biểu thức cho \( C \):
\[
C = \frac{\frac{\sqrt{6} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{2\sqrt{6}}{9} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{6}}{3}}
\]

Đưa tất cả về mẫu số chung:
\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{3\sqrt{3}}\) thành mẫu số là \(9\sqrt{3}\):
- Tính toàn bộ mẫu số:
\[
\frac{2\sqrt{6}}{9} + \frac{3}{3\sqrt{3}} + \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{3} + 6\sqrt{6}}{9} = \frac{8\sqrt{6} + 3\sqrt{3}}{9}
\]

Giá trị cuối cùng sẽ là:
\[
C = \frac{\frac{\sqrt{6} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{8\sqrt{6} + 3\sqrt{3}}{9}} = \frac{9(\sqrt{6} - 1)}{\sqrt{3}(8\sqrt{6} + 3\sqrt{3})}
\]

Calculating from here leads to the final answer, which can be simplified further if necessary based on numeric evaluations.