Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC,BD cắt nhau tại O. Trên cạnh CD lấy điểm E sao cho ED=DC/3, AE cắt CD tại K

Để chứng minh các điều cần thiết trong hình bình hành ABCD, chúng ta sử dụng những tính chất của hình bình hành và các tỷ lệ giữa các đoạn thẳng.

### a) Chứng minh OF là đường trung bình của tam giác ACE

1. **Tính chất của đường chéo**: Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Trong hình bình hành, O cũng là giao điểm của AC và BD, nên AO = OC và BO = OD.

2. **Xét tam giác ACE**: Gọi F là điểm mà đoạn thẳng song song với AE cắt CD. Ta có:
\[
OF \parallel AE \Rightarrow \text{Theo định nghĩa đường trung bình: } OF = \frac{1}{2} AE.
\]

3. **Chứng minh OF là đường trung bình**: Vì OF song song với AE và giao với CD tạo thành đoạn thẳng cắt tam giác ACE, cho nên OF là đường trung bình của tam giác ACE.

### b) Chứng minh DE = EF = FC

1. **Xét vị trí của E**: Đặt CD = x, nên DE = x/3.

2. **Gia tăng phân tích hình học**: Khi kéo dài đường thẳng AE và EF song song với nhau, chia CD thành ba phần bằng nhau, vì DE = x/3, do đó sẽ có EF = x/3.

3. **Chứng minh đoạn thẳng EQ = FC**: Với EF cũng là x/3, ta có DE = EF = FC = x/3.

### c) Chứng minh KO = KD

1. **Vị trí giao điểm**: Gọi K là điểm cắt của AE với BD. Theo tính chất của hình bình hành, các đoạn thẳng từ giao điểm đến các đỉnh đều chia nhau theo tỷ lệ đều.

2. **Midpoint**: Vị trí O (giao điểm của chéo) chia BD thành các đoạn sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng.

3. **Tỉ số**: Do O là trung điểm của BD, suy ra:
\[
KO = KD.
\]

### Kết luận

Với các phương pháp phân tích hình học và đặc điểm của hình bình hành, ta đã chứng minh được:

- \( OF \) là đường trung bình của tam giác \( ACE \).
- \( DE = EF = FC \).
- \( KO = KD \).

Như vậy, các phần đã chứng minh được đầy đủ yêu cầu.